贝叶斯统计与决策讲座.ppt

4.5 抽样信息期望值 4.5.1、基本概念 1.完全信息：对需要作决策的问题，假如决策者所获得 的信息足以肯定那一个状态即将发生，则该信息就称为(该 状态的)完全信息。 2.完全信息期望值(EVPI)：设某决策问题有n种状态θ1, θ2,…,θn,且各种状态的先验概率π(θi)已知,又有m种行 动a1,a2,…,am。设Qij为出现θi采取行动aj的收益，a′为 使 取得最大时的行动，则称 为完全信息期望值，记为EVPI。 3.先验EVPI：在一个决策问题中π(θ)是状态集Θ={θ}上 的先验分布。 a′是先验期望准则下的最优行动，则在a′下 的损失函数L(θ, a′)的先验期望 称为完全信息先 验期望值，记为先验EVPI。 4.两者的关系: 5.例题:对给定的Q或L怎样计算EVPI和先验EVPI？如： 是先验期望准则下的最优行动 4.5.2 抽样信息期望值 1.定义：在一个贝叶斯决策问题中, a′是先验期望准则下的最优 行动， 是后验风险准则下的最优决策函数。则先验EVPI与后验EVPI期望值的差称为抽样信息期望值，记为： 2.计算一个EVSI的基本步骤： 第一步：计算先验EVPI； 第二步：计算θ的后验分布； 第三步：计算每个行动的后验期望损失 ； 第四步：确定最优决策函数； 第五步：计算后验EVPI； 第六步：计算后验EVPI的期望值； 第七步：计算抽样信息期望值。 4.5.3 案例分析 甲厂的某一零件由乙厂生产，每批1000只，其次品率 θ的概率分布如下表所示： 甲厂在整机装配时，如发现零件是次品，必须更换，每换一只，乙厂赔偿2.20元的损失费，但也可以在送装前采取全部检查的办法，使每批零件的次品率降为1%，但乙厂必须支付每只0.10元的检查费。乙厂面临如下两种选择： a1:一批中一件都不检查 a2:一批中每件都检查 若乙厂厂长想从每批中任取三只零件进行抽查，根据不合格品个数来决定是采取行动a1还是行动a2 ，并想知道这样能否带来更大的收益？ θ 0.02 0.05 0.10 π(θ) 0.45 0.39 0.16 一、计算先验EVPI： 支付函数： 由此的支付矩阵和损失矩阵： 计算每个行动下的先验期望损失： 由此得在先验期望准则下，a1是最优行动， 则：先验EVPI=15.68 2.计算 的后验分布 3.计算各行动的后验期望损失 x 0 1 2 3 m(x) 0.8745 0.1176 0.0076 0.0002 x 0 1 2 3 θ1=0.02 0.4843 0.2202 0.0658 0.0028 θ2=0.05 0.3824 0.4490 0.3684 0.0190 θ3=0.10 0.1333 0.3308 0.5658 0.9782 x 0 1 2 3 13.0634 32.4148 55.4484 95.8636 42.3642 22.5636 9.5532 0.4464 4.确定最优决策函数： 5.计算后验EVPI：x=0时，后验EVPI=13.0634 x=1时，后验EVPI=22.5636 x=2时，后验EVPI=9.5532 x=3时，后验EVPI=0.4494 6.计算后验EVPI的期望值: 7.计算抽样信息期望值： EVSI=15.68-14.15=1.53 思考：该厂长所确定的抽取三件产品检查，是否是最好？ 注：EVSI和样本量n有关，EVSI（3）=1.53 若n=1,抽一个进行检查，可得 EVSI（1）=0.63 参考书 1.茆诗松，汤银才编著，贝叶斯统计 （第二版 ），中国统计出版社 ，2012 2.吴喜之，现代贝叶斯统计学，中国统计出版社，2000年10月。 3.张尧庭