高数多元函数复习题.ppt

例1 求函数的定义域，并作图。 例2 设 例3 填空题 3. 5. 设 7. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则 8. 例4 体会二元函数的一些基本概念之间的关系 例7 例8 例9. 设 例10 设 例11 求曲线 例14 求曲线 例15. 设曲面的方程为 例17. 求点 (1, 2, 0) 到曲面 例20. 在曲面 例21设曲面方程为 例22. 设函数 例19 上求出一点 M , 使 沿着点 的方向导数具有最大值 . 解: 其方向余弦为 则问题为 ( 条件 ) 设 到 * 高等数学 * * 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 * 总复习 多元函数微分学 1. 提示: 且 求 解 令 1. 提示: 0 提示: 0 4. 设 , 则 则 即 提示: 令 则 提示: 6. f ( x , y ) 在点 处偏导数 存在是 f ( x , y ) 在该点连续 ( ) . (A) 充分条件但非必要 (B) 必要条件但非充分 ; (C) 充要条件 ; (D) 既非充分也非必要条件. D 1 选择题 ( 6 - 8 ) B 提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案 原式 提示: 利用 令 即 则 原式= 当 m = 3 时 当 m = 4 时 A (A) 不存在 ; ~ 证明、判断下列极限存在与否 （2） （3） 提示： （1） 取 时， 有 取 时， 有 取 时， 有 表明上式中极限均不存在。 例5 证明：函数 点 连续、 所以在点 连续 所以在点 偏导数都存在 偏导数存在、但不可微. 例6 所以在点 不可微。 1、函数可微，偏导数不一定连续； 2、当 和 不存在时，也不能断定 和 不存在。 这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。 在点 处四个基本概念之间的关系 连续性 偏导数 方向导数 可微性 可微性条件增强 由它可以推出其它 三个概念，反之不 一定存在。 求下列函数的偏导数和全微分。 （1）设 解 求 可先代入部分值，再求导数。 求 （2）设 解 设 求 解法一: 解法二: 其中 求 解: 例9 设 其中 具有二阶连续偏导， 求 解： 令 由方程 确定 , 其中F 可微 , 求 解: 得 上在点A(1,1.1)处的 切线方程和法平面方程。 解： 方程组两边对 x 求导得 将点A(1，1，1）代入 切线方程 法平面方程 解 例12 依题意，两平面平行 例13 解： 令 求曲面 平行于平面 的各切平面方程。 设 为曲面上的切点， 满足方程 切点为 切平面方程(1) 切平面方程(2) 绕 y 轴旋转一周生成 的曲面在点 上的切平面与 平面的夹角。 解 旋转曲面 在点 平面上 证明曲面在任意点 解: 令 则曲面在点 M 的法向量为 而 故 的法线与向量 垂直 . 求最大长方体 解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体 例16 在圆锥面 与平面 所围成的 锥体内作底面与 面平行的长方体， 的体积。 的体积： 将①式乘以x与②式乘以y相比较得 将 代入①式并由③式得 所以得唯一驻点为 依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为 的最短距离 . 解: 问题为 ( 条件 ) 设 令 解得 此两点到曲面的距离为 故 为最短 . 解 例18