高校数学-必威体育精装版ppt-第三章线性方程组第六节.ppt

2) 直线 L 在平面 ? 上的条件是： 1) 直线 L 与平面 ? 相交的条件是： 这时方程组有唯一解，即平面 ? 与直线 L 相交 于一点，且因为 | A | ? 0，所以三个平面的法向量 线性无关，即不共面. R(A) = R(B) = 2. R(A) = R(B) = 3. 这时方程组有无穷多解 ( 求解时有一个自由未 知量)，解集的图形是一条直线，即直线 L 位于平 面 ? 上. 3) 直线 L 与平面 ? 平行的条件是： R(A) = 2，R(B) = 3. 这时方程组无解，直线 L 平行于平面? ，但不 在 ? 上. 3. 两直线间的位置关系 两条直线间的位置关系有：相交、平行、不共 面(即交叉不相交) 三种情况. 设直线 L1 和 L2 的方程分别为 主要内容 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构 第六节 线性方程组解的结构 直线平面间的位置关系的判定 三元非齐次线性方程组解的几何意义 在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我 们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的 解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有 多个解的情况下，所谓解的结构 就是解与解之间 的关系. 下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解 但是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就 是本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面 的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就 不再每次都说明了. 一、齐次线性方程组解的结构 设有齐次线性方程组 它的解是一个 n 维向量，称之为解向量， 所有解构成的集合，称之为解集. 由它的 1. 解的性质 方程组 (1) 有下面两个重要性质： 性质 1 两个解的和还是方程组的解. 证明 设 ( k1 , k2 , … , kn ) 与 ( l1 , l2 , … , ln ) 是方程组 (1) 的两个解，则有 把两个解的和 ( k1 + l1 , k2 + l2 , … , kn + ln ) (2) 代入方程组，得 这说明 (2) 确实是方程组的解. 证毕 性质 2 一个解的倍数还是方程组的解. 证明 设 ( k1 , k2 , … , kn ) 是方程组 (1) 的一 个解，c 为一常数，因为 所以 ( ck1 , ck2 , … , ckn ) 是方程组 (1) 的解. 证毕 4. 基础解系的定义 定义 19 齐次线性方程组 (1) 的一组解 ?1 , ?2 , … , ?t 称为 (1) 的一个基础解系，如果 1) (1) 的任一解都能表成 ?1 , ?2 , … , ?t 的线性 组合； 2) ?1 , ?2 , … , ?t 线性无关. 5. 基础解系的存在性与求法 齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的 定理给出. 定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情形下, 它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 n - r ，这里 r 表示系数矩阵的秩 ( 以下将看到 n - r 也就是自由未知量的个数) . 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的 方法. 证明 设方程组 (1) 的系数矩阵的秩为 r ，不 妨设左上角的 r 级子式不等于零. 于是按上一节最 后的分析，方程组 (1) 可以改写成 如果 r = n，那么方程组没有自由未知量，方程 组 (3) 的右端全为零. 这时方程组只有零解，当然 也就不存在基础解系. 以下设 r n . 我们知道，把自由未知量的任意一组值 ( cr+1 , cr+2 , … , cn ) 代入 (3) ，就唯一地决定了方程 (3)－ 也就是方程组 (1) 的一个解. 换句话说，方程组 (1) 的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个 解就完全一样. 特别地，如果在一个解中，自由未 知量的值全为零，那么这个解一定是零解. 因此，为了求方程组 (1) 的 n - r 个不同的解， 在 (3) 中，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , … , xn 取下列 n - r 组数： 于是就得出方程组 (3) , 也就是方程组 (1) 的 n - r 个 解： 下面来证明，(5) 就是一个基础解系. 首先证明 ?1 , ?2 , … , ?n - r 线性无关. 事实上，如果 k1?1 + k2?2 + … + k n - r?n - r =0 , 即 k1?1 + k2?2 + … + k n - r?n - r = ( *, … , *, k1 , k2 , … , kn - r ) = ( 0, … , 0, 0, 0, … , 0 ) . 比较最后 n - r 个分量，得 k1 = k2 = … = kn - r = 0 . 因此， ?1 , ?2 ,