高等数学(2017高教五版)课件函数的连续性连续函数的概念(工科类).ppt

如果函数 f 在[a,b]上的不连续点都是第一类的, 能要添加或改变某些分段点处的值). 是由若干个小区间上的连续曲线合并而成 一个按段连续函数. 并且不连续点只有有限个, 从几何上看,按段连续曲线就 区间上的连续函数 那么称 f 是[a,b]上的 (当然可 一、函数在一点的连续性 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. §1 连续函数的概念 数学分析 第四章 函数的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数 *点击以上标题可直接前往对应内容 定义1 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 函数在一点的连续性 换句话说连续就是指 性的， 后退 前进 目录 退出 §1 连续函数的概念 函数在一点的连续性 例如： 这是因为 函数在一点的连续性 又如：函数 函数在一点的连续性 极限 由极限的定义,定义1可以叙述为: 这是因为 存在d 0, 这样就得到函数 f (x) 在点x0 可改写为 函数在一点的连续性 对于任意正数e , 定义2 下面是连续性的另外一种表达形式.请比较. 如果对任 意的 应的函数(在 y0 处)的增量 存在 当 时 函数在一点的连续性 为狄利克雷函数. 注意:上述极限式绝不能写成 例1 证 函数在一点的连续性 由上面的定义和例题应该可以看出: 类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念. 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值. 极限存在是函数连续的一个必要条件)， x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 函数在点 x0 首先 f (x) 在点 而且还 函数在一点的连续性 定理4.1 定义3 很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 0 既是左连续, 又是右连续. 点 x f 在 有定义，若 的定义可得： 函数在一点的连续性 例2 讨论函数 解 因为 函数在一点的连续性 所以, 综上所述, 函数在一点的连续性 定义4 间断点的分类 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一: 或不连续点. 该点不连续, 若 f 在点 x0 无定义, 或者在点 x0 有定义但却在 那么称点 x0 为函数的一个间断点 间断点的分类 等于f (x0). 根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类： 1. 可去间断点: 一个可去间断点. 间断点的分类 注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 点. 3. 第二类间断点: 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 义无关. 有一个不存在, 间断点的分类 2. 跳跃间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 证 因为 例3 所以 并且　　 是 　 的一个可去间断点. 间断点的分类 注 1. 2.若点 x0 是 的可去间断点, 间断点的分类 只要重新定义f (x) 例4 讨论函数 在x = 0 处是否连续? 若不连续,是什么类型的间断点？ 间断点的分类 解 因为 所以 f (x) 在 x = 0 处右连续而不左连续,从而不连续. 由于其左、右极限都存在，因此是跳跃间断点. 例5 解 因为由归结原理可知， 均不存在， 点？ 间断点的分类 区间上的连续函数 若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I 例如, 以及 都是R上的连续函数； [-1,1]上的连续函数,在 处的连续分 别指右连续和左连续. 数在该点连续是指相应的左连续或右连续. 上的连续函数. 对于闭区间或半闭区间的端点,函 是区间 而函数 区间上的连续函数