选修2-3-1.2排列中优限法、捆绑法、插空法的运用.ppt

一、【概念复习】 1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题； 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2．排列数的定义，排列数的计算公式 EX1⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040 ⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66 =720 ⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？ 解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列，有A66 ，共有A61 A66 =4320。 解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。 解题示范 现有7位同学站成一排． ⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 甲 乙 乙 甲 a b c d e e b d c a A55 A55 A22 A22 ⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共有A52 A55 ＝2400种排列方法． 解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A77－2 A66 ＋ A55=2400种． 归结(1)：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。 ⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66 A22 ＝1440种． 拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法.则这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A66 -2A55)A22=960种方法． 归结2：对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松). 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法， 　再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A41 A55 A22 ＝960种方法． ⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：（排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空” ），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A62种方法. c b a d e 则共有A55 A62=3600种方法． 乙 甲 拓展：③甲、乙和丙三个同学都不 能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44 A53 ＝1440种． 归结(3)：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 强化练习：三名女生和五名男生 站成一排， ⑴如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ ⑵如果女生全分开，有多少种不同排法？ ⑶如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？ ⑷如果两端不能都排女生，有多少种不同排法？ A66