选修2-3 2.3离散型随机变量的均值和方差(2课时).ppt

按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等. 定价为混合糖果的平均价格才合理 问题情景 18元/kg 24元/kg 36元/kg m千克混合糖果的总价格为 18元/kg 24元/kg 36元/kg 情景探究 按3：2：1混合以下糖果 平均价格为 36 24 18 P X 均值(数学期望)定义 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为 X 随机变量均值的线性性质 已知随机变量X，其均值为E(X). 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．并且随机变量Y的均值为：E(Y)=E(aX＋b)＝aE(X)＋b． P 6 5 4 3 2 1 X P 13 11 9 7 5 3 Y 例如 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值. 定义随机变量Y=2X+1，求E(Y). pn xn … … pk xk … … p2 x2 p1 x1 P X pn axn+b … … pk axk+b … … p2 ax2+b p1 ax1+b P X 随机变量X的分布列为： 随机变量Y=aX+b的分布列为： 随机变量Y的数学期望是： 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ X=1或X=0 P(X=1)=0.7 X 1 0 P 0.7 0.3 那么他罚球100次的得分X的均值是多少？ 温故知新 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？ 若X服从两点分布，则E(X)=p. X 0 1 P 1－ p p 深入探究 深入探究 如果X~B(n，p)，那么E(X)=？ 若X~B(n，p)，则E(X)=np. 则E(X) ＝p 若X~H(N ，M ， n) 则E(X)＝ 若X~B(n，p) 则E(X)＝np 若X~B(1，p) 各种不同概率模型下的数学期望 例2 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确. 每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分. 学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 例题讲解 可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1 、 X2. 例2 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确. 每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分. 学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X1 和 X2， 则X1~B(20，0.9)， X2 ~B(20，0.25)， 所以E (X1)＝20×0.9＝18， E(X2 ) ＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5 X1和5 X2．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5 X1)＝5E(X1)＝5×18＝90， E(5 X2)＝5E(X2)＝5×5＝25． 答: 甲、乙同学得分的期望分别是90分和25分. 求离散型随机变量均值的步骤： ① 确定离散型随机变量可能的取值； ② 写出分布列，并检查分布列的正确与否； ③ 求出均值. 方法与步骤 若X~H(N ，M ， n) 则E(X)＝ 则E(X) ＝p 若X~H(N ，M ， n) 则E(X)＝ 若X~B(n，p) 则E(X)＝np 若X~B(1，p) 各种不同概率模型下的数学期望 方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能防小洪水； 试比较哪一种方案好？ 遇大洪水损失60000元 遇小洪水损失10000元 有小洪水的概率为0.25 有大洪水的概率为0.01 大型设备 方案3：不采取措施. 方案1：运走设备运费为3800； 能力展现 2.3.2离散型随机变量的方差 设在一组数据x1，x2 ，…， xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是： 叫做这组数据的方差. 方差说明了这组数据的波动情况. 离散型随机变量的方差定义 对于离散型随机变量X的概率分布如下表： (其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (xi－ E(X))2 描述了xi (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故 (x1－E(X))2 p1＋ (x2－E(X))2 p2＋...＋ (xn－E(X))2pn 称为离散型随机变量X的方差，记为D(X). 其算术平方根为X的标准差： 记为 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波