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6.曲面积分与曲面无关的条件. *8 空间曲线积分的四个等价命题. 11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空. 二 下列计算对吗？ 二2 二3 二4 二5 * 第十部分 曲线、曲面积分 ? 一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和 两型曲线积分互相转换的关系式。 2. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和 两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用 。 4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。 5. 高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法. *8. 空间曲线积分的四个等价命题. 9. 了解散度，会计算散度. 10. 了解旋度，会计算旋度. 第十部分 曲线、曲面积分 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、 重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环 量以及通过曲面的通量计算问题。 填空(4个). 二. 下列计算对吗？ (5题) 三. 判别积分的类型并计算. (4题) 四. 课堂练习. 1. 单项选择题(3题) 2. 计算题(3题) 11. （按积分区域分类） 积分区域 积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式 格林公式 ? 一.多元函数积分学概况 推 广 推 广 推 广 推 广 第一型 (对弧长) 第二型 (对坐标) 两型之间 的关系 标准形式 物理意义 计算方法 相似处 不同处 曲线积分 1.都是化曲线积分为 定积分计算。 2.都要把曲线表示式 代入被积函数。 积分下限 上限 L方向：从A?B 积分下限为起点A的 t 值 上限为终点 B的 t 值 此处下限是? , 上限是?... . 1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较 . L指曲线 AB ⌒ 第一型 (对面积) 第二型 (对坐标) 两型之间 的关系 标准形式 物理意义 计算方法 曲面积分 ? 指空间曲面 ?为有向曲面 . . . 2. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比较 解决 平面的曲线积分与二重积分的联系 3. 格林公式 L D D L l (逆) (顺) 则有 其中 L 是 D 的整个正向边界曲线. 若： 特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为： 注： (逆) (逆) 问题。 4. 平面曲线积分的四个等价命题 . 若其中一个成立，另外三个也成立。 等价的意义是： 5. 高斯公式 曲面积分与三重积分的联系 则有 其中 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧. 若： . . . 解决 问题. . 7. Stokes 公式 曲线积分与曲面积分的联系 若： 解决 问题 ? 7. Stokes 公式 曲线积分与曲面积分的联系 则有 若： 解决 问题. . . ? ? . 9. 散度 . . 例： 解： . 10. 旋度 . . 例： 解： 由轮序对称性， . . . . ⌒ ⌒ 解： a D x 0 y L ? . . 以上解法对吗？ . 解： a ? ? . . 以上解法对吗？ Dxy y o z x ?1 ?2 . . 解： a ? ? . 以上解法对吗？ Dxy y o z x ?1 ?2 . . 解： a ? ? . 以上解法对吗？ Dxy y o z x ?1 ?2 . . 取上侧； 取下侧. 解： a ? ? . 以上解法对吗？ y o z x . . ? ⌒ ⌒ 三 判别积分的类型并计算（4个） 四 课堂练习. 1. 单项选择题 B C B 2. 计算题 谢 谢 使 用 返回首页 . o x y A(–1,0) B(0,1) C(1,2) 解 类型： I 型曲线积分 三1. 其中， . . . ⌒ ⌒ ⌒ * * *