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蕴 秀 斋 2015 年第 56 届 IMO 解答 1、S 是平面上有限个点组成的集合，如果对于其中任意两个不同的点A, B ，都有一个S 中 的点C CA CB S S S ，使得 ，则称 是平衡的。如果对于 中任意三个不同的点A, B ,C ， 中 没有一个点到A, B ,C 的距离都相同，则称S 是非中心的。 ㈠求证：对于任意整数n 3 n ，都存在一个恰有 个点的平衡集合。 ㈡对于哪些正整数n 3 n ，存在一个恰有 个点的非中心的平衡集合？（荷兰） ㈠证明：①n 3 时，我们取一个单位圆O ，在单位圆上取两个点A, B ，使得AB 1， 则S3 O, A, B满足要求； ② n 4 时，我们取一个单位圆O ，在单位圆上取三个点 A, B ,C ，使得 AB BC 1， 则S4 O, A, B,C 满足要求； ③假设对于 n 5 ，并且存在n 2 个点组成的平衡集合 Sn2 ，使得其中O Sn2 ，另 外的n 3 个点在以 O 为圆心的单位圆上。 由于单位圆 O 上有无穷多对点距离为1，因此可在单位圆O 上取两个X , Y Sn2 ，使 S S  X ,Y n 得X Y 1，则 n n2  是 个点的平衡集合。 因此，对于任意整数 n 3 n ，都存在一个恰有 个点的平衡集合。 ㈡①若n n n S S 是大于1的奇数，我们可以取一个正 边形的 个顶点为 ，则 是一个非中 心的平衡集合。 ②设n 2k k 2 n S ，其中 ，假设存在一个恰有 个点的非中心的平衡集合 。 以下描述中所有的点都属于S ，令P A,B , X XA XB , A B ，由于不存在     2k 1 不同于A, B 的C 满足XC XA XB ，因此每个点X 在P 中最多出现 2  k 1次， 所以 P 2k (k 1) k (2k 2) 。 另一方面，每对 A,B 在P 中至少出现一次，因此 P C 2 k (2k 1) ，矛盾。   2k n 3 n 综上所述，当且仅当 是奇数时，存在 个点的非中心的平衡集合。 （此题全场平均4.307 分，满分 265/577 人，中国队此题满分） 上 善 若 水 蕴 秀 斋 2 、求所