集合论-第一二章习题课.ppt

第一章 集合及其运算（1） 例1 设A,B,C是三个任意集合，则 (1)若A?B,B?C,则A?C可能吗? A?C常真吗?举例说明。 (2)设A,B是任意两个集合,A?B与A?B同时成立 这可能吗?证明你的断言。 例2 设A,B,C是任意三个集合，则 (1)若A?B=A?C，则有B=C吗？ (2)若A?B=A?C，则有B=C吗？ (3)若A?B=A?C且A?B=A?C，则有B=C吗？ 例3若A,B,C是三个任意集合,当A?B=A?C且AC?B=AC?C， 是否有B=C？ 例4 设A,B是两个任意集合，证明: (1)A?B?2A?2B?A?B； (2)2A=2B?A=B； (3)2A?2B?2A?B； (4)举例说明：2A?2B?2A?B ； (5)2A?B=2A?2B。 例5(多项选择)集合A是以空集为唯一元素的集合,集合 B=P(P(A))，则有：( )。 (1)￠?B；(2)￠?B (3){￠}?B； (4){{￠},{{￠}}}?B ；(5){￠,{{￠}}}?B。 例6设A,B,C是集合,求下列各式成立的充分必要条件: (1)(A\B)?(A\C)=A；(2)(A\B)?(A\C)=￠； (3)(A\B)?(A\C)=￠；(4)(A\B)?(A\C)=￠。 例7 设A,B是任意集合，则 (1)若A\B=B，则A与B有何关系？ (2)若A\B=B\A，则A与B又有何关系。 例8 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)证明:(A\B)\C?A\(B\C) ； (2)举例说明(A\B)\C≠A\(B\C)。 例9设A,B是集合，证明: (1)A=￠?B=A?B； (2)(A\B)?B=(A?B)\B?B=￠。 例10设A,B,C是任意三个集合，则 (A?B)?C=A?(B?C)?C?A。 例11设V是任一集合，证明： ?S,T,W?2V有S?T?W当且仅当S?T?S?W且S?W。 习题课（2） 例1在1000名大学生的调查中,有804人掌握了英语,205 人掌握了日语,190人掌握了俄语,125人既掌握了英语又掌握了日语,57人既掌握了日语又掌握了俄语,85人既掌握了英语又掌握了俄语。试求这1000名大学生中,英语、日语、俄语全掌握的有多少人？ (23人) 例2 某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？ (|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人) 例3 某校学生数学、物理、英语三科竞赛，某班30人，学生中有15人参加了数学竞赛，8人参加了物理竞赛，6人参加了英语竞赛，并且其中3人三科竞赛都参加了，问至少有多少人一科竞赛都没有参加。 (7人) 例4 甲每5秒放一个爆竹，乙每6秒放一个，丙每7秒放一个，每人都放21个爆竹，共能听见多少声响。 (54响) 习题课（3） 例1 设A,B,C是三个任意集合，证明: A?(B?C)=(A?B)?C。 [左边=(A?BC?CC)∪(B?AC?CC)∪(C?BC?AC)∪(A?B?C)] 例2设A,B,C是三个任意集合，化简 例3设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B,则A=B。 例4设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少有一个成立： (1)A=￠；(2)B=￠;(3)A=B。 例5 马大哈写n封信，n个信封，把n封信放入到n个信封中，求全部装错的概率是多少？ 〔n个人，n顶帽子，全部戴错的概率是多少？〕 [当n≥10时,概率都近似等于0.3679] 例6 毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过舞。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明：在所有参加舞会的小伙子与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。 例7 设M1,M2,…和N1,N2,…是集合S的子集的两个序列，对i≠j，i,j=1,2,…，有Ni∩ Nj=￠。 令 试证： 第二章 映射习题(1) 讨论下列映射的性质 例1 X={1,2,3,4},Y={a,b,c,d,e},f(1)=a,f(2)=a, f(3)=c,f(4)=d。 例2 令N={1,2,3,…}，S:N→N，则 (1)?n?N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。 (2)S(1)=1,?n?N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。 例3 令Ｅ为全体偶自然数之集，f:E→N，?2m?E，