§2解析函数的孤立奇点.PPT

§2.解析函数的孤立奇点 * * 2.1 孤立奇点的三种类型 2.2 孤立奇点的性质 2.3 零点与极点的关系 2.1 孤立奇点的三种类型 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： 特点： 没有负幂次项 特点： 只有有限多个负幂次项 特点： 有无穷多个负幂次项 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 　　　 若f (z)的洛朗级数 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点; 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤 立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. 这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0|z-z0|d , 则在圆域|z-z0|d 内就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,从而函数 f (z)在z0就成为解析的了(?).所以z0称为可去奇点. 2.2 孤立奇点的性质 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的 负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+... (m?1, c-m?0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) ? 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) ? 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.(?) 如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有 3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点. 综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. 为什么？ 2.3 零点与极点的关系 复习定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 例如： 定理: 证明 “?”　若z0为f (z)的m 级极点