《经济数学基础：微积分（一）》课程教学大纲.DOC

《复变函数》课程教学大纲 课程代码：L12027 英 文 名：Complex Variable Function 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学 前 置 课：数学分析 后 置 课：概率论、数学物理方程、偏微分方程 学 分：2学分 课 时：54课时 选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. 课程概述： 《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门专业核心课程之一，同时又是本专业硕士研究生入学考试初试、复试必考课程之一。从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。在实用上，作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。我国老一辈的数学家著名数学家华罗庚、陈建功、杨乐、张广厚在单复变函数及多复变函数等方面做过重要工作，不少成果已达到当时的国际先进水平.在国际数学界有着极大的影响。?? 二、平面? 三、复数的模与辐角? 四、复数的乘幂与方根? 五、共轭复数? 六、复数的应用举例 第二节 复平面上的点集 平面点集的几个基本概念 区域与Jordon曲线函数的定义域与值域的概念和计算。 第三节 复变函数 复变函数的概念、复变函数的极限与连续 第四节 复球面与无穷远点 复球面?? 二、扩充复平面上的几个基本概念 第二章 解析函数 课时分配：9课时 教学要求： 1、理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。 2、理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。 3、熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。 4、熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。 5、熟练求多值函数的交点、及满足条件的分交在指定点处的函数值。 6、联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。 教学内容： 第一节 解析函数的概念与C—R条件 复变函数的导数与微分 解析函数及其简单性质 C—R条件 第二节 初等解析函数 指数函数、三角函数 第三章 复变函数的积分 课时分配：9课时 教学要求： 1、理解复积分的概念。 2、理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。 3、理解刘维尔定理、莫勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。 4、熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。 教学内容： 第一节 复积分的概念及其简单性质 复变函数积分的定义 复变函数积分的计算问题 复变函数积分的基本性质 第二节 Cauchy积分定理 Cauchy积分定理 Cauchy积分定理的古莎证明 不定积分 Cauchy积分定理的推广 Cauchy积分定理推广到复周线的情形 第三节 Cauchy积分公式及其推理 Cauchy积分公式 解析函数的无穷可微性 Cauchy积分公式的几个推理 第四节 解析函数与调和函数的关系 第四章 解析函数的幂级数表示 课时分配：9课时 教学要求： 1、理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。 2、理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件结论的强弱。 3、熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。 4、?熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。 5、数量掌握解析函数零点和级别的求法。 教学内容： 第一节 复级数的基本性质 复数项级数 一致收敛的复函数项级数 解析函数项级数 幂级数 一、幂级数的敛散性 二、收敛半径的求法 三、幂级数和的解析性 解析函数的Taylor展式 一、Taylor定理 二、幂级数的和函数在及其收敛圆周上的状况 三、一些初等函数的Taylor展式 解析函数的零点的孤立性及唯一性定理 解析函数零点的孤立性 唯一性定理 最大模定理 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 课时分配：9课时 教学要求： 1、理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本性奇点的概念。 2、熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式。 3、熟练掌握判断奇点类别的方法。 教学内容： 解析函数的Laurent展式 一、双边幂级数 二、解析函数的Laurent展式 三、Laurent级数与Taylor级数的关系 四、解析函数在孤立奇点邻域内的Laurent展式 解析函数的孤立奇点 一、孤立奇点的三种类型 二、可去奇点 三、施瓦次引理 四、极点 五、本质奇点 六、皮卡定理 解析函数在无穷远点的性质 解析函数在无穷远点的性质 第六章 留数理论及其应用 课时分配：12课时 教学要求： 1、?理解留数的定义。 2、?熟练掌握计算留数的方法。 3、?理解留数基本定理，会用留数理论计算积分。 教学内容： 留数 留