近似特别解法解变时间分数阶扩散方程.pdfVIP

2016年 9月 山 东 师 范 大 学 学 报 (自然 科 学 版) Sep．2016 第 31卷 第3期 JournalofShandongNormalUniversity(NaturalScience) Vo1．3lNo．3 近似特别解法解变时间分数阶扩散方程 刘 荟 张学莹 (河海大学 理学院，211100，南京 ) 摘要 近似特别解(MAPS)是一种基于径向基函数(RBFs)插值的无网格方法．本文采用近似特别解法来解决变时间分数阶 扩散方程，在离散过程中，用有限差分法离散时间分数阶导数，用近似特别解法离散扩散项 ，选择薄板样条函数作为径向基函数， 并把所得结果和MQ插值函数进行对比．数值结果表明在解决变时间分数阶扩散方程时，薄板样条函数所得结果比MQ函数结果 更稳定，同时避免了形参C的选择，且有较高的精度和计算效率． 关键词 近似特别解；径向基函数；变时间分数阶扩散方程 中图分类号 O242．1；O302 文献标识码 A d0j： 10．3969／j．issn．1001—4748．2016．03．008 在近几十年中，由于分数阶微分方程理论在工程和物理 ’等学科中广泛的应用，分数阶微分方程的数 值算法的研究也日益广泛．恒定时间分数阶扩散方程被认为是与之最相近的模型，并且也取得了成功 ．但 是，多种实验结果数据表明恒定时间分数阶扩散方程不能完全解决一些复杂的扩散情形 ，这些扩散情形 有的是依赖时间变化的，有的是依赖空间变化的．为了解决这些问题，引入可变分数阶扩散方程． 由于变分数阶算子中含有变阶的指数部分，不容易求解可变分数阶微分方程的解析解，因此很多人研究 其数值解法 ．现如今，有限差分方法很受欢迎，可以对恒定和可变时间分数阶扩散方程进行时间和空间离散． 有几种数值方法已被运用到分数阶微分方程的空间离散，例如：边界元法 、傅里叶法 、有限元法 ’引、无 网格径向基函数法 m等．有的文章会选择 LMAPS解决一类方程 ¨，但在解决变时间分数阶扩散方程时 LMAPS不适用．本文主要研究解可变时间分数阶扩散方程的MAPS法，方程是对时间的分数阶导数和对空 间的整数阶导数，对时间离散采用有限差分法，并且介绍RBF无网格法、MAPS法对空间的离散彳艮多文章会 首选 MQ函数作为径向基函数，但在解决变分数阶扩散方程时，选择薄板样条函数和MQ函数同样有比较高 的精度，所以文中会分别选取薄板样条函数函数和MQ函数作为MAPS方法中的径向基函数，并将这两种函 数应用到变分数阶扩散方程进行数值求解同时给出相应的误差比较分析． 1 MAPS法基本理论 1．1 变时间分数阶扩散方程 =( +v．V-A )+q(x,t)， (1) 0 (t)1，X ∈n，t∈(0，T)， an=F + ( nF = )， 边界条件：M(X，t)=g1(X，t)， X ∈FD，t∈(0，T)， (2a) ：g2(，)， ∈rⅣ，￡∈(0，)， (2b) 口 初始条件 ： ( ，O)=u。()，X ∈n． (3) 其中Q(x，t)，gl(，t)，g2(，t)和U0()是给定的函数，D是扩散系数，A是感应系数， 是速度向量，n是 向外的单位法向量， 是总时间，a )／Ot㈤是关于时间t的可变时间分数阶导数．并且定义如下： Ot() =J 1 t t ． (4) 0r( 一 ()) a叼 (一叼) ()’ 一、 … 、