131函数的单调性例题.doc

1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 ; （2）; ; （4） 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 (取值，即_____________________________； (作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； (定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 证明：在上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设，,那么 在上是增函数； 在上是减函数. 证明：在其定义域内是减函数； 证明：在上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 已知函数在上为增函数，且，试判断在上的单调性，并给出证明过程； ▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法： 直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1） 图象法； 定义法； 运算性质法： ①当时，函数与有相同的单调性； 当时，函数与有相反的单调性； ②当函数恒不等于零时，与单调性相反； ③若，则与具有相同的单调性； ④若、的单调性相同，则的单调性与之不变； ▲即：增+增=增 减+减=减 ⑤若、的单调性相反，则的单调性与同. ▲即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断； （2）与的单调性不能确定. 相应作业2：（1）讨论函数在上的单调性（）； ▲（2）务必记住“对勾”函数的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1） 知识拓展——复合函数单调性（▲难点） 一、复习回顾： 复合函数的定义：如果函数的定义域为A，函数的定义域为D，值域为C，则当时，称函数为与在D上的复合函数，其中叫做中间变量，叫内层函数，叫外层函数。 二、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 引理2 已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 引理1的证明： ▲重要结论1：复合法则 若 则 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 规律可简记为“_____________________”（四个字） ▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定: (若减函数有偶数个，则复合函数为增函数； (若减函数有奇数个，则复合函数为减函数. 规律可简记为“_____________________”（四个字） 题型三、求复合函数的单调区间 例3. 求下列函数的单调区间. （2） ▲小结： 1、注意：（1）求单调区间必先求定义域； 单调区间必须是定义域的子集； 写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开. 判断复合函数单调性步骤： (求函数的定义域； (将复合函数分解成基本初等函数：与； (确定两个函数的单调性； ④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间. （2） （3） 单调性的应用 题型四、比较函数值的大小 例4.已知函数在上是减函数，试比较与的大小. 题型五、已知单调性，求参数范围 例5.已知函数 若的减区间是，求实数的值； 若在上单调递减，求实数的取值范围. 例6.若函数在R上为增函数，求实数的取值范围. 题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例7.已知函数是上的减函数，且，求实数的取值范围. 例8.已知是定义在上的增函数，且，且，解不等式. 相应作业4：已知是定义在上的增函数，且，且，解不等式. 题型七、抽象函数单调性的判断——定义法 解决此类问题有两种方法： (“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义