§52孤立奇点.PDF

§5.2 孤立奇点 根据展开的罗朗级数的不同情况 将孤立奇点作如下分类: 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点 本节将利用函数的Laurent级数展开式研究 函数在孤立奇点处的性质. 如果函数f (z)在z 点不解析, 则称z 是f (z) 的 0 0 一个奇点. 如果z0 是f (z) 的一个奇点, 且存在δ 0, 使得f (z)在0 z − z0 δ 内解析，则称z0 是f (z) 的 孤立奇点. 1 sin z 例如z=0是函数e z 和 的孤立奇点. 但z=0 z z 1 不是函数 1 的孤立奇点, 因为kπ (k = ±1,±2,L ) sin z 若z0 是f (z) 的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域 0 z − z0 δ 内解析, 根据Laurent级数展开定理， 则f (z)可以展开为Laurent级数 ∞ n f (z ) = ∑ c n (z − z 0 ) , n=−∞ 1 f (z ) 其中 cn = ∫ n+ 1 dz (n = 0,±1,±2,L ), C是 — 2π i (z − z ) C 0 z 为中心, 半径小于δ 的圆周的正向. 0 根据Laurent级数展开式的系数c 的不同情况, n 可以把f (z) 的孤立奇点进行分类. 5.2.1 可去奇点 定义5.1 如果f (z)在 0 z − z0 δ 内的Laurent 级数中不含有z − z0 的负幂项, 即当n = −1,−2, − 3,L 时, c = 0, 则称z 是f (z) 的可去奇点. n 0 此时 f (z ) =c 0 +c 1 (z −z 0 ) + L +c n (z −z 0 )n + L . 这个幂级数的收敛半径至少为δ , 和函数ϕ (z)在z0 处解析. 无论f (z)在z 是否有定义, 可定义 0 f (z 0 ) = c 0 = lim f (z ) = ϕ (z 0 ), z →z0 则在 z − z0 δ 内f (z ) ≡ ϕ (z ) 解析. 因此, 若 f (z)在 0 z − z0 δ 内解析, 且极限 lim f