概率论 何书元编著 答案习题五解答.ppt

16 .设 正定，则 证明 因为 正定，则存在可逆方阵 使 则令 ，且 17.设 是秩为 的对称幂等矩阵， 证明 证明 因为 所以 的特征根只有0和1，所以存在正交矩阵 其中 的期望和协方差阵分别为 * 1.设 服从负二项分布 解 求 的母函数。 习题五解答 2.求下列母函数的分布列（展成幂级数） 解 所以分布列 （2） 解 （1） 所以分布列 （3） 解 所以分布列 3.设取非负整数的随机变量 有母函数 对非负 求 的母函数。 4.设取非负整数值的随机变量 有母函数 用 表达以下函数。 解 因为 整数 解 （1） 所以两式相减 （2） 解 因为 两式相加 5.掷4个均匀的正12面体，设第 面的点数是 求点数和为15，16，17的概率。 则 而 的母函数 颗的点数 解 设 所以 的母函数 分别求出 的系数得 6.甲乙两人各掷均匀的硬币 甲掷得的正面次数大于乙掷得的正面次数 次的概率。 次，利用母函数求 解 甲掷硬币并设 则 的概率母函数 设 表示 次中甲正面出现的次数， 则 的概率母函数 同理设 表示 次中乙正面出现的次数，与 服从相同分布并有相同母函数,再令 其母函数 所以 的系数为概率 7.独立重复试验中，用 表示第 次试验成功， 表示 发生，但是对 没有 发生） 表示首次成功后即接失败的试验次数（ 用 的母函数、 求 解 ………. 8.验证 的特征函数 证明 令 9.设 其特征函数 求 的特征函数。 又 解 考察随机变量 不难得到 与 同分布，所以 10.设 服从 的柯西分布，对 证明 的特征函数 独立吗？ 解 因为 ，显然 不独立,不能用性质 所以 但 11. 设 独立同分布，求 （1）当 （2）当 服从 解 （1）当 服从柯西分布时，由第九题其 的分布。 服从柯西分布 分布 则 的特征函数 特征函数 所以 服从参数为 的柯西分布。 服从 分布时，由习题5.1其 （2）当 则 的特征函数 特征函数 所以 服从参数为 的柯西分布。 12.已知如下特征函数，求概率分布 解 观察 的取值为 并设 则 （1） 即分布列为 （2） 解 观察 的取值为 并设 则 所以 即 分布列为 13. 设 服从参数为 的泊松分布 （1）当 时，证明 （2）定义 当 时，证明对 有 一切实数 解（1）要证 ，只需证 的特征函数 收敛到 的特征函数 即可。 因为 的特征函数 而 的特征函数 （2）与（1）完全类似的证明。 14.设 是特征函数，证明 也是特征函数。 令 则 的特征函数 所以 是 的特征函数。 独立同分布，特征函数为 证明 取 15.验证 分布的特征函数是 证明 设 则 其中 且独立 特别的 其密度为 所以 的特征函数为 令 所以 的特征函数 *