现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论).pdf

现代控制理论 第4章 Lyapunov稳定性理论 浙江工业大学 信息与控制研究所 主要内容: • 概述 • Lyapunov意义下的稳定性 • Lyapunov第二方法 • 线性系统的稳定性分析 • 离散时间系统稳定性分析 • Lyapunov稳定性方法在控制 系统分析中的应用 2 4.1 概 述 • 实际工程中的（闭环）系统必须平稳运行, 比如希望系统状态能保持在一个确定的工 作点附近 . • 用状态空间的说法是（闭环）系统运行渐 进到一个状态 – 例 • 题外话，有些系统不能稳定 – 例 – 控制作用体现 3 状态量：P, h 造纸机— 网前部—加压网前箱 4 • 1892年, 俄国数学家Lyapunov在其博士论文 《运动稳定性的一般问题》, 给出了 – 稳定性概念的严格数学定义 – 解决稳定性问题的一般方法 – 奠定了现代稳定性理论的基础. 5 Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法, 即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法. • 第一方法是通过微分方程的解来分析运动稳定性 – 要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制. – 但对某些微分方程来说是比较便利的, 比如线性定常微 分方程. （未来可能比较重要） • 第二方法构造一个正定的Lyapunov函数 – 一般所说的Lyapunov方法常常就是指Lyapunov第二方 法. – 目前仍是控制理论研究的主要方法 – 本章重点 6 4.2 Lyapunov意义下的稳定性 • 稳定到平衡状态— 问题的简化 • 能量函数 • Lyapunov意义下的稳定性定义 7 4.2.1 平衡状态 非线性系统 x f (x, t ) (4.2.1) 式中x 为n维状态向量, f (x,t) 是变量x , x ,… x 和t 1 2 n 的n维向量函数. 如果在式(4.2.1)描述的系统中, 对所有时间t , 都有 ( f ,x ) t 0 e ≡ (4.2.2) 则x 称为系统的平衡状态或平衡点. e 8 系统平衡状态的几点说明: • 如果系统是线性定常的, 即f (x, t)=Ax, 则当 A 为非奇异矩阵时, 系统存在一个唯一的平