第10章 薄板弯曲.ppt

第10章 薄板弯曲问题 与式（10.29）对比，可见有 （10.30） 这一常微分方程的解答可以写成（齐次解+特解） 其中 是任意一个特解，可按照式(10.30)右边积分以后的结果来选择； 将上式代入式（10.28），即得挠度w的表达式 设图10-6中的矩形薄板是二边简支的，受有均布荷载 * 弹性力学 蒋 玉 川 2007.5.17 y x z o b 图10-1 薄板的弯曲 ※10-1 基本概念与基本假定 在弹性力学中，将两个平行面和垂直于该平面的柱面所围城的物体称为平板，简称为板，如图10-1所示。 两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚，而平分厚度t的平面称为板的中面。当板的厚度t远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8至b/5）,这个板称为薄板，否则称为中厚板。 薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计算假定： （1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度不变。这就是Kichhoff的直法线假设； （2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计。 （3）、板中面只发生弯曲变形，没有面内伸缩。 以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线假设。如图10-1所示，作用在板上的荷载垂直于板面时，薄板发生弯曲变形，当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度w。 薄板弯曲问题采用位移法求解，基本思路是确定位移函数的形式，使其满足位移表示的平衡方程，然后再满足位移分量表示的应力边界条件即得问题解答。基于以上基本假设，可由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的基本方程。 §10-2 薄板弯曲的基本方程 （1）、位移函数 根据直法线（1），并结合几何方程有 还是根据假设（1），薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线保持相互垂直，没有剪应变，即 由上式可知 上式对z积分，注意到w与z无关，得 根据假设（3），薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移 （10.1） 可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度w确定，任何点的位移都确定。 ⑴、几何方程与应变分量 薄板内不等于零的应变分量有如下三个 （10.2） 分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率 （3）、本构关系与主要应力 由假设（2）,即在本构关系中不考虑次要应力 即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同 （10.3） （4）、平衡方程与次要应力 次要应力即 是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。 （10.4） 将式(10.3)代入上式得 上式对z进行积分，注意到如下边界条件 可得 其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为 （10.5） （10.6） 最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。 将式（10.5）代入上式得 积分上式得 （a） 在薄板的下面，有边界条件 （b） 将式（a）代入式（b），求出 后再代入式（a）得 （10.7） (5)、薄板的挠曲微分方程 在薄板的上边界有 （c） 将式(10.7)代入式(c)得 （10.8a） 即 （10.8b） 方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导出该方程式。 纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和（10-7）求应力分量。 §10-3 薄板横截面上的内力和边界条件 10.3.1 薄板内力 在绝大多数的情况下，都很难使得应力分量在薄板的侧面边界上精确地满足应力边界条件，而只能应用圣维南原理，即由这些应力分量组成的内力整体地满足边界条件。 因此，首先来考察这些应力分量和组成内力的关系。 图10-2 薄板的内力 在x为常数的横截面上， 在y为常数的横截面上， 将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得 （10.11） （10.9） （10.10） （10.12） 将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较，可以得到用内力矩表示的薄板应力 在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无须计算。因此，一般工程手册中。只是给出弯矩和扭矩的计算公式或图表。而目前在钢筋混凝土楼板的设计中，大都按照双向的弯矩来配置双向钢筋，而不考虑扭矩的作用。 10.3.2、边界条件 A B O C x