第二章 现代控制理论基础.ppt

方法二 还可以采用另一种方法求取系统的状态方程和输出方程。 对微分方程通过拉氏变换，可作出系统方框图 等效变换可得 引进中间变量 z 之后，经拉普拉斯反变换，其微分方程为 可以仿照输入函数不含导数项系统的状态变量选取方法选取系统的状态变量，即 Z(s)=U(s)?1/(sn+a1sn-1+???an-1s+an) Y(s)=Z(s)?(b0sn+b1sn-1+???bn-1s+bn) 其相应的系统状态方程为 相应的输出方程为 用上述两种方法列写系统状态方程及输出方程，在形式上虽有所不同，但当在同一输入函数的作用下，所得的系统输出函数都是完全相同的。 将a1改为-a1 例2.3 设控制系统的运动微分方程为 试列写该系统状态方程及输出方程。 解：将系统微分方程进行拉普拉斯变换，可得系统传递函数为 引进中间变量z，即 取 其微分方程为 选取状态变量为 则系统状态方程为 其输出方程为 (3) 多输入多输出线性定常连续系统的状态方程及输出方程 n 阶多输入多输出线性定常连续系统的状态空间表达式的向量矩阵一般形式为 式中 n 维状态向量 r 维输入向量 m 维输出向量 n?n 系统矩阵 n?r输入（控制）矩阵 m?n输出矩阵 m?r直接传递矩阵 （4）传递函数矩阵 由状态方程求传递函数 对多输入多输出状态方程 式中 n 维状态向量 r 维输入向量 m 维输出向量 对状态方程取拉氏变换 则 ? 意义： 表征第j个输入对第i个输出的传递关系 2. 由系统状态变量图列写线性定常系统状态方程及输出方程 状态变量 状态变量图 运动微分方程(或系统传递函数) 状态变量图由加法器、放大器和积分器等构成。 C ? y=cx y x x1 x x2 xn y 直接程序法 直接程序法是直接根据系统微分方程，作出系统的状态变量图，再根据状态变量图列写系统状态方程及输出方程。 加法器 放大器 积分器 例2.5 设线性定常系统可用下列传递函数描述 试按直接程序法作系统状态变量图，并根据状态变量图列写系统状态方程及输出方程。 解: 引进中间变量 z 则系统传递函数可等效变换为 其微分方程为 3 x3(0) z x1 y u x2 x3 4 8 6 x2(0) x1(0) + + + - - 根据逐项积分的办法，可作出系统状态变量图如图所示。 状态变量为：x1=z; 根据系统状态变量图可直接写出系统状态方程如下 其输出方程为 3. 由系统方框图直接列写状态方程及输出方程 例2.5 设某控制系统的方框图如图所示。试直接由系统方框图列写系统状态方程及输出方程。 由系统方框图，直接可以得到 其微分方程为 式中 代入系统状态方程中并写成矩阵状态微分方程形式得 状态反馈方程 其输出方程为 取系统状态变量 则系统状态方程可列写为 例2.6 复合控制系统如图所示。 试直接利用系统方框图列写系统状态方程及输出方程。 解: 由系统方框图可知，该系统由三个基本方框组成，分别写成 其微分方程 选取状态变量 则系统状态方程为 状态反馈方程为 状态传递方程为 代入后写成矩阵形式为 输出方程为 stop 2.4 线性时变连续系统的状态方程及输出方程 设描述n阶线性时变系统的微分方程为 若选取 为系统状态变量, 则由上式可得如下状态方程 或写成 将其改为-a1(t) 式中 输出方程为 对于n 阶多输入多输出线性时变连续系统，其状态空间形式可写为 式中 n 维状态向量 r 维输入向量 m维输出向量 将其改为-a1(t) 式中的元素部分或全部是时间 t 的函数。 例2.11 设线性时变系统的微分方程为 试列写其状态方程及输出方程 . 解: 选取 为该系统的状态变量，则系统的状态方程为 根据系统状态变量的选取可得系统输出方程为 写成矩阵形式有 传递函数矩阵 组合系统 ?1 ?2 ? u u2 u1 ?1 ?2 u u1 u2 y1 y1 y2 y2 y y ?1 ?2 ? u u2 u1 y1 y2 y - 并联系统 串联系统 反馈系统 u1=u2=u y=y1+y2 y1 =u2 y=y2 u1=u y=y1 u2=y1 u1=u - y2 系统的定常齐次方程 满足初始条件：t = 0 时，X(t0) = X0 的通解可在时域内直接求得。 可假设齐次状态方程的解为时间的幂级数，即假设 式中 bi 是待定的系数列阵，当 t = 0 时 在A是常数矩阵的情况下，将X (t ) 及其导数代入系统方程得 2