单位矩阵定义.PPT

4 線性模型 與矩陣代數 線性模型與矩陣代數 4.1 矩陣與向量 4.2 矩陣運算 4.3 向量運算 4.4 交換律、結合律與分配律 4.5 單位矩陣與零矩陣 4.6 轉置矩陣與逆矩陣  使用矩陣代數的好處： 可將相當大的方程體系以簡潔形式寫出 可以行列式判斷並測試解存在與否 可得其解（若解存在） 然而，矩陣代數只用於直線型方程體系。 （缺點） 以直線型方程式描述實際經濟關係妥適嗎？ 很多情況下，即使因假定線性關係而犧牲某些實際性，只要所假定的直線型模式極接近非直線型的實際關係，則可矣。 在其他情況下，即使保留模型的非直線性，仍可移轉變數，以得直線型關係來處理。 例如 y ＝ a x b 可以兩邊取對數，轉移函數為 log y ＝ log a ＋ b log x 簡言之，在經濟上常採直線型之假定，在某些情況下昰相當合理且可成立的。 矩陣與向量:聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (4-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 = s1, x2 = s2,……, xn = sn能滿足聯立方程式(4-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(4-1)的解。 矩陣與向量 以矩陣表示： A x = d 矩陣與向量 例 可寫為 矩陣的定義 凡數字、參數或變數之矩形排列。排列中之各項，稱為矩陣之元素（elements），兩邊常以中括號包圍之，如（4.2）式。 由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m ? n 階(order)矩陣(matrix) A。 為簡便計，m ? n 矩陣常以符號 A = [aij]m?n，或更簡單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。 矩陣每元素之位置可以其下標辨識，每個矩陣為一有序的集合。 矩陣之橫列數與縱行數合成矩陣之大小（dimension）。 例如，矩陣A含有m橫列與n縱行，稱其為m × n 的矩陣。 當m = n時，矩陣稱為正方矩陣（square matrix）。 矩陣與向量 某些矩陣指含有一縱行，如（4.2）之x 與d。此稱行向量（column vectors）。 若將變數 x i 排成水平的，則得1 × n 矩陣，稱列向量（row vector）。 4-1作業 2.3.4.5 4.2 Matrix Operations 1.若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m ? n 矩陣，且aij = bij ，1 ? i ? m， 1 ? j ? n ，則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A = B。 例 4.2 Matrix Operations 2. 矩陣之相加與相減（addition and subtraction of matrices） 1)可相加條件：兩矩陣有相同的大小（same dimension） 2) A＝[a ij] and B＝[b ij]之相加定義為求每一對應元素之和 [a ij] ＋ [b ij] ＝[c ij]而c ij＝ a ij ＋ b ij [a ij] － [b ij] ＝[d ij]而d ij＝ a ij － b ij 加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m ? n 矩陣，則 A 與 B的和(sum) C = [cij] 亦為 m ? n 矩陣，且 即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m ? n 矩陣，或寫成 C = A + B。 4.2 Matrix Operations 例 4.2 Matrix Operations 3. 與純量相乘：一矩陣與一數相乘，即乘純量（scalar），為該矩陣每一元素乘該純量。例： 4.2 Matrix Operations 4. 矩陣相乘： 兩矩陣AB相乘必須滿足一項條件，A之行數＝B之列數。 若A之大小為m×n，而B之大小為p×q，若且唯若n＝p，則可定義矩陣乘積AB。而且乘積大小為m×q。 例：已知ABC3矩陣如下，請問矩陣乘積AB，BA，AC，CA，BC，CB是否可定義？ 乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m ? n 矩陣，B = [bij] 為 n ? p 矩陣，則 A 和 B 的乘積(product) C = [bij] 為 m ? p 矩陣，其中 若以符號表示，可寫成 C = AB 4.2 Matrix Ope