一、前言》教育部101学年度高级中学数学竞赛的台中区复赛试题（一.DOC

　　　　　　　　　　　　　　　 一、前言》 教育部101學年度高級中學數學競賽的臺中區複賽試題（一）有著這樣一道問題： 考慮由個0，1組成且01剛好出現次的數字串（如是由8個0，1組成，且01剛好出現3次的數字串）。令為所有這種數字串個數，證明： 我們簡單的瀏覽一下解答的做法： 令為這種字串中尾數為 ，1的個數。則我們有遞迴關係 要解出這個遞迴關係應該是不容易的！但是，我們倒是可以觀察出來 。 所以藉由題意順藤摸瓜我們可以「猜」出 ， 藉由(1)逆推又可「猜」出 ， 接下來利用遞迴關係(1)，(2)兩式，對做數學歸納法證明猜測正確。所以 ， 證明完畢。 我們覺得這原先是很有意思的一個計數問題，但是最後處理的方法卻落入單純的數學歸納法來證明是有點可惜的一件事，特別是藉由題意在猜測這一項讓我們覺得有點倒果為因。所以這篇文章目的在把這個計數問題賦予一個組合模型，然後直接在這個模型上計數來處理原本的問題。 計數方法千變萬化，甚至涉及高等數學領域。本文方法絕非最佳，只能算是與夥伴討論出來的心得，願分享給各位先進作為深入教學或概念連結的素材。 二、重複組合模型》 有個相同的物品（個0）分給人，方法有，這是重複組合模型。但是在實際的計數上，我們準備了根相同的隔棒（個1），將所有分法與個0，個1排列做一對一對應。根棒子隔出了個間隔，棒子與棒子之間0的數目依序為第1人，第2人，…第人所分到的物品數目。所以 ， 以上是我們熟悉的。當然附帶許多變形的問題，例如：如果每個人至少分到1個物品（），那就每人先發1個0，剩下個0再分。所以分法有。 三、分析》 注意到在原來的問題裡：001100110101我們可以看成6個0分給7個人（1，2，… 6，7號），恰好1，3，5，6號有拿到，依題意字串也恰好出現4對01。而110000100111則是3，4號有拿到，而字串出現2對01。 但是觀察110001001110卻出了點意外，字串出現2對01，卻是3，4，7號有拿到。7號的舉動似乎打破我們想要建立的對應關係，為此，我們編個故事。把6個0只分給7個人當中的3個，而且7號一定要是其中一個，另外2個人一定要分到，但是7號不一定要分到。這個模型恰好與6個0，6個1所組成的字串且出現2次01一對一對應。因此6個0，6個1所組成的字串且出現2次01的個數為 。 現在，由個0，1組成且01剛好出現次的字串，我們假設有個0，個1。因為01出現了次，所以，即。由上述的分析知道： 個0，個1所組成的字串且出現次01的個數 =個0只分給個人當中的個，而且第人 一定要是其中一個，另外個人一定要分到，但是 第人不一定要分到的方法數 = 接著，我們讓足碼從取到，於是得到 四、證明組合等式 》 雖然賦予了組合上的意義，但是原來的計數公式似乎被我們複雜化了。在驗證過幾個具體數據後，(#)是正確的。所以接下來的目的就是證明(#)。我們採用「殊途同歸」的方式來證明： 考慮對角頂點在，的矩形，從走捷徑到的方法有 ， 另外一方面，任何一條捷徑走法恰與鉛直線交於一點，交點為 ， 而與L交點在的捷徑恰好是從到的捷徑，右移1單位到，再從走捷徑到。 所以與L交點在的捷徑數目為 ， 我們讓足碼從0取到便得到到的所有捷徑數目為 從而證明(#)。 五、評註》 在探索問題的過程中我們得到(3)，看起來似乎把問題複雜化。回頭來看才發現級數裡每一項 可將問題的部分情形對應到我們熟悉的模型上，加總後完成計數。而組合等式(#)本身就可以獨立成一個命題，藉由建構適合的走捷徑模型，讓我們省去繁複的代數運算並且得到更簡潔的形式。 行文至此，我想起我的高中老師在教授排列組合的時候說過的一句話：「算排列組合的時候，有的時候就好像在編故事。編一個好的故事，題目就會變得很簡單。」現在回來看，其實談的是對應（bijection）這個概念，這真是點出了高中排列組合的精華了。 最後，我們很好奇是否有更好、更簡潔的模型來對應這個計數問題？如果有，那肯定是個更美的故事了！也請不吝說給我們聽。期待與您交流 Cantor0968@。 數亦優33 吳孝仁、賴政泓／臺北市政大附中、陳憲儀／臺中市豐原高中