合肥工业大学精品课程概率论与数理统计即.PPT

例3 例4 双正态总体小结 计算器统计计算简介 【例1】设某种清漆9个样品的干燥时间(小时)分别为 例1 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间服从正态分布N(μ,σ2).在下列条件下求μ 的置信度为0.95 的置信区间: (1) σ=0.6(小时); (2) σ未知.[P.185:14] (1)因为方差已知,故均值μ的置信区间为 〖解〗单正态总体,置信度为1-α=0.95, α=0.05. 由于 故所求置信区间为 即 续 (2)因为方差未知,故均值μ的置信区间为 由于 故所求置信区间为 即置信区间为 续 ■ 【例8】设总体X服从[a,b]上的均匀分布,求未知 参数a,b的极大似然估计量. 〖解〗双参数，连续型. 因为 所以X的概率密度为 例8 设 为样本 的一个样本值,记 由于 所以,似然函数为 对于满足 的任意a,b有 续1 即 故a,b的极大似然估计值为: 续2 故a,b的极大似然估计量为: ■ ? 本例直接利用极大似然思想方法来求似然估计. 小结 小结 矩估计法是由样本矩等于总体矩的方程 (组)解出矩估计量,再相应写出矩估计值;而极大似 然估计法是由似然方程(组)解出似然估计值，再相 应写出似然估计量. 同一个待估参数的矩估计与极大似然估计可能 相同[如二项总体、正态总体],也可能不同[如均匀 总体]. (3、极大似然估计的不变性 例如,正态总体方差σ2的极大似然估计为 故标准差σ(0)的极大似然估计为 极大似然估计性质 定理 设 是总体X的参数 的极大似然估计,函 数 具有单值反函数,则 是 的极大似然估计,即 例9 【例9】设总体X服从参数为λ的泊松分布,求 P{X=0}的极大似然估计. 因为 〖解〗因为 ,易求 的极大似然估计值与 极大似然估计量分别为: 有单值反函数,故由上述定理知:P{X=0}的极大似然估 计为 ■ 对于同一个参数,用不同方法求出的估计量可能 不同.那么,采用哪一个估计量为好呢?用何种标准来 评判估计量的优劣? 下面,介绍几个常用标准. 1、无偏性 定义 设估计量 存在期望,且对任意 有 三、估计量的评选标准 则称 为 的无偏估计量. 称为用 来估计 的系统误差.因此, 无偏估计就是说无系统误差. 1、无偏性 例10 【例10】设总体X存在均值μ与方差σ20,则 〖解〗因为 1、样本均值 是总体均值μ的无偏估计; 2、样本方差 是总体方差σ2的无偏估计. 1、样本均值 是总体均值μ的无偏估计; 2、样本方差 是总体方差σ2的无偏估计. 所以 ■ 续 续1 易知：对均值μ,方差σ20都存在的总体,方差的 估计量 是有偏估计: 无偏化得: 可以证明:无论总体X服从何种分布,k阶样本矩 是k阶总体矩的无偏估计,即有 续2 因此,一般都是取样本均值 作为总体均值的估计 量,取样本方差 作为总体方差的估计量. 是总体均值μ的无偏估计;并确定常数a,b使D(Y)达到 最小. 〖解〗因为 【例11】设从存在均值μ与方差σ20的总体中,分 别抽取容量为n1,n2的两个独立样本,其样本均值分别 为 .证明:对任意常数a,b, 由期望性质得: 例11 由无偏性知:Y是μ的无偏估计量. 由方差性质得: 续-1 即: 解得当 时D(Y)最小. 续-2 由导数应用知: ■ 【例12】试证明均匀分布 〖解〗因为θ极大似然估计量为 中未知参数θ的极大似然估计量不是无偏估计. 而总体分布函数 例12 的分布函数为 故其概率密度为 续-1 从而, 不是 的无偏估计. ■ 续-2 2、有效性 则称 较 为有效. 同一个参数的无偏估计可能有多个,在容量相同 情况下,认为取值密集于参数真值附近的估计量较为 理想. 由于方差度量随机变量取值与其数学期望的偏 离程度,故无偏估计应以方差小者为好. 定义 设 都是θ的无偏估计量,若有 2、有效性 【例13】设总体X服从参数为θ的指数分布 〖解〗因