四次方程的求根公式-中国科学技术史学会.PPT

在四次方程求解成功后Lagrange更加相信用置换的方法去解代数方程是一种正确的、有效的处理方法； 为证明这种方法的一般性Lagrange在解四次方程时对预解式的选取稍作改变。 4、验证2 对四次方程求解的又一次成功使Lagrange坚信这种方法——用置换思想进行代数方程求解是可行的。 （5、分析） 解三次方程时辅助方程实际为二次的，即是说我们只需要找一个预解式（为原方程根的函数）使其在原方程根的置换下只能取两个值；而解四次方程时辅助方程实际为三次的，即是说我们只需要找一个预解式（为原方程根的函数）使其在原方程根的置换下只能取三个值。 Lagrange的确这样做了，正如我们知道的他的预解式分别为： 和 ，并且用上述的方法同样取得了成功；并且他还得到了解任意次方程的预解式 内涵：解代数方程实际是要解辅助方程，因此要寻找一个预解式，此预解式在原方程根的置换下取不同值的个数即为辅助方程的次数，找到了合适的预解式就得到了辅助方程（辅助方程的系数可由原方程的系数表示），解答了辅助方程就可以顺利的得到原方程的根。我们以四次方程为例用图表表示如下： 解 四 次 方 程 原方程根的函数 预 解 式 在原方程根的置换下只能取三个不同值 三 次 辅 助 方 程 三 次 辅 助 方 程 的根 与 联立 原 四 次 方 程 找 得到 解 答 得到 解方程 得到了三、四次方程的一般求解方法其实就得到了一般任意次方程的解法，所以用置换思想解代数方程就可以推广到任意n次。 解 n 次 方 程 在原方程根的置换下只能取r（rn）个不同值 r 次 辅 助 方 程 原 方 程 可 解 原方程根的函数 预 解 式 就是找 得到 若可解 建立了如此的理论，Lagrange进行了不懈的努力，进行五次及五次以上方程的尝试，虽然由于种种原因，他最终失败了; 但运用置换的思想进行代数方程求解的理念已经形成，正是像Lagrange本人所希望的——后人能通过他的思想解决更高次方程的求解； 确实如此，正是由于Lagrange提出了置换的思想，Gauss才顺利解决了十七次分圆方程的求解问题，Ruffini才从反面论证高于五次的方程可能没有一般代数解，Abel才严密的给出了五次以上代数方程没有一般解的证明，Galois才最终走向代数方程求解的顶峰。 结论 是Lagrange辅助方程理论的直接结果。 用置换的思想进行代数方程求解不是偶然的，是一元代数方程求解历史发展到一定阶段的必然产物。 是Lagrange用自己的心血总结并实践的方法。 是一元代数方程求解史中最伟大的发现之一。 衷心感谢您的关注！ 一、背景 一元代数方程求解的历史 可以追溯到公元前3500年； 古巴比伦人就已经知道一元二次方程的求根公式； 1545年Cardan的《大法》的出版使人们知道了三、四次方程的求根公式； 自此众多的数学家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、Gauss 、Abel、Galois…）继续向五次及五次以上方程而努力。 Lagrange置换思想的产生 报告人：赵增逊 西北大学数学与科学技术史中心 Lagrange置换思想的产生 一、置换产生的背景 二、置换产生的原因 三、置换产生的过程 1、对已知解法的思考 2、初次实践置换思想 3、验证一 4、验证二 5、分析 四、结论 一、置换产生的背景 1545年Cardano的《大法》的出版使人们知道了三、四次方程的求根公式。 自此众多的数学家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、Gauss 、Abel、Galois…）继续向五次及五次以上方程而努力。 第一个历史性的台阶就是Lagrange。 Lagrange对代数方程求解做出了巨大贡献：用置换的思想进行代数方程求解以及因此而得出的代数方程求解理论。 一、彻底改变了人们的思维，使数学家们从单纯的寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的、通用的方法，并使他们从繁重的数学计算中解脱出来； 二、改变了代数方程求解的内涵