实系数多项式.PPT

第八节 复系数与实系数多项式的因式分解 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §8 复系数与实系数多项式的因式分解 第一章 多项式 * 一、复系数多项式 二、实系数多项式 1. 代数基本定理 一、复系数多项式 若 则 在复数域 上必有一根． 推论1（代数基本定理的等价叙述） 若 则存在 使 即， 在复数域上必有一个一次因式． 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则 　　可约． 2. 复系数多项式因式分解定理 若 则 在复数域 上可唯一分解成一次因式的乘积． 推论1 推论2 若 则 在 其中 是不同的复数， 上具有标准分解式 复根（重根按重数计算）． 若 ，则 有n个 二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． 若 为根，则 两边取共轭有 ∴ 也是为 复根． 证： 设 实系数多项式因式分解定理 　　　　　 ，若 ， 则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 证：对 的次数作数学归纳． ① 时，结论显然成立. ② 假设对次数n的多项式结论成立． 设 ，由代数基本定理, 有一复根 ． 若 为实数, 则 ，其中 若 不为实数，则 也是 的复根，于是 设 ，则 即在R上 　　　　是 一个二次不可约多项式． 从而 由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证． 在R上具有标准分解式 推论1 其中 且 　 ，即 为 R上的不可约多项式. 推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约. 分别在实数域与复数域上分解因式 例1 (1) (2) 解 (1) 在复数域上的分解式为: 在实数域上的分解式为: 所以, (2) 所以, 在实数域与复数域上的分解式分别为: 例2 分别求以1，1，-2，3+i,，1-i为根的次数最低的复 系数和实系数多项式. 解 (1) 所求的复系数多项式为 (2) 因实系数多项式以3+i,，1-i为根,故3-i,，1+i也是 所求多项式的根,所以所求多项式至少有7个根.分别为: 1，1，-2，3+i，3-i，1+I，1-i. 从而,所求多项式为 附：单位根、单位原根 定义1 多项式 在复数域上的任一根都称为 n 次单位根. 　事实上,在复数范围内 的n个复根为 这里 定义2 若 是 的全部根， 则称 为n 次单位原根（简称原根）.也就是说 的任一根，都可经 表示. 易知如下性质: