直线和平面所成的角与二面角 第三课时.doc

直线和平面所成的角与二面角（第三课时） 面面垂直 进一步巩固二面角的概念． 掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用． 教学重点、难点：两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用． 教学过程： 一、复习 1．二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法； 2．求二面角的步骤：作——证——算——答． 二、新课讲解 1．两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面． 2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 已知：直线平面，平面，垂足为，求证：． 证明：如图所示，令，则， 在内过作， ∵， ∴， ∴是二面角的平面角， 又∵， ∴是直角， 所以，与所成的二面角是直角，即． 实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直． 3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 已知：于点，求证：． 证明：在内过作，则由题意得是的平面角， ∵知， 又∵， ∴． 三、例题分析 例1．如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任一点，求证：平面平面． 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直， 只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可． 解：∵是圆的直径， ∴， 又∵垂直于所在的平面， ∴， ∴平面，又在平面中， 所以，平面平面． 说明：由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法． 例2．已知，求证：． 证明：设，在内取点，过 作于，于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，∴． 例3．如图，平面，，若，求二面角的正弦值． 分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角． 解：过作于，过作交于，连结， 则垂直于平面，为二面角的平面角， ∴，又平面， ∴，， ∴平面， ∴，， 又∵，， ∴平面，∴， 设，则， 在中，，∴， 同理，中，， ∴， 所以，二面角的正弦值为． 四、本课小结 1．面面垂直的判定和性质定理． 2．面面垂直性质和判定定理的应用． 五、作业补充 1．过点引三条长度相等但不共面的线段，且，，求证：平面平面． 2．如图，平面，，分别是上的点，且，求证：是直角三角形． 2 （第2题图） （第1题图）