直线和平面所成的角与二面角 第五课时.doc

直线和平面所成的角与二面角（第五课时） 习题课2 在不同的背景中会寻找线面角、线线角和二面角的平面角，并能加以求解． 掌握处理角问题的一般方法． 教学重点、难点：角问题的一般处理的方法． 教学过程： 一、复习 1．线面角的定义和线面角的范围； 2．二面角的定义和二面角平面角的一般作法； 3．面面垂直的判定及性质定理． 二、新课讲解 例1．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值． 解：过点作于点，连接， 则，，为所求与所成角，记为， 令， 则， 则在中，有， 在中，， ∴与平面所成角的正弦值. 例2．已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长． 解：由已知， ∴ ， ． 例3．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小． 分析：点可能在二面角内部，也可能在外部， 应区别处理． 解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点 在二面角外部时， ∵，∴．∵，∴面．同理，面， 而面面，∴面与面应重合． 即在同一平面内， 则是二面角的平面角 在中，， ∴．在中，， ∴． 故（图1）或．（图2） 即二面角的大小为或． 说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角． 例4．如图，正方体的棱长为1，，求： （1）与所成角； （2）与平面所成角的正切值； （3）平面与平面所成角． 解：（1）∵， ∴与所成角就是． ∵平面， ∴（三垂线定理）． 在中， ， ∴． （2）作，平面平面， ∴平面，为与平面所成角． 在中，， ∴． （3）∵， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． 即平面与平面所成角为． 说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度． 问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案． 三、本课小结 1．二面角、线面角的有关概念． 2．角问题的一般处理方法． 四、作业补充 1．如图，平面，，若，求二面角的正弦值． 2．点为的二面角内一点，到的距离均为10，求点到棱的距离． 3．如图，矩形平面，若与平面所成的角为，与平面成角，求： （1）的长； （2）求与所成角； （3）求二面角的余弦值． 1