直线和平面所成的角与二面角 第四课时.doc

直线和平面所成的角与二面角（第四课时） 习题课1 进一步掌握二面角及二面角的概念． 进一步熟悉二面角的三种作法，了解其它求法． 教学重点、难点：二面角平面角的构造方法． 教学过程： 一、复习 1．二面角的概念，二面角平面角的作法及二面角平面角的范围； 2．面面垂直的判定和性质定理． 二、新课讲解 例1．如图所示，已知面，，二面角的平面角为，求证：． 证明：过作的垂线，垂足为，连接． ∵平面，平面，， ∴， ∴为二面角的平面角， 即， ∵面，∴． ∵是直角三角形，∴． 又∵， ∴， ∴即． 说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法． 例2．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角， 求二面角的大小． 解：过作于， ∵二面角为直二面角， ∴面． 取中点，为中点，连接， ∵，∴， ∴，∴ ∴为二面角的平面角． 令，则． ∴，∴在中， ∴． 即二面角的大小为． 例3．设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，， 求（1）与平面所成角的大小； （2）二面角的大小； （3）异面直线和的大小． 解：（1）∵面， ∴， ∴为与面所成角． ∵， ∴，∴， ∴，∴， 即与平面所成角的大小为． （2）取中点，连接， ∴．∵， ∴．又∵面， ∴，∴为二面角的平面角． 又∵，∵， ∴．∴． 即二面角的大小为． （3）取的中点，连接，则， ∴与所成的锐角或直角即为异面直线和所成角． 易求得， 即异面直线和所成角为． 三、本课小结 1．二面角的求法． 2．二面角的构造方法． 四、作业补充 1．在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小．（用可以求得） 2．如图，正方体的棱长为， 求（1）二面角的大小； （2）二面角的大小． 1