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空间向量的数量积(第一课时)
掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法.
掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
教学重点、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化.
教学过程:
一、复习
空间向量基本定理及其推论.
二、新课讲解
1.空间向量的夹角及其表示:
已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有;
若,则称与互相垂直,记作:.
2.向量的模:
设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:.
3.向量的数量积:
已知向量,则
叫做的数量积,记作,即.
已知向量和轴,是上与同方向的单位向量,作点在上的射影,作点在上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影;可以证明的长度.
4.空间向量数量积的性质:
(1).
(2).
(3).
5.空间向量数量积运算律:
(1).
(2)(交换律).
(3)(分配律).
三、例题分析
例1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理.
已知:是平面内的两条相交直线,直线与平面的交点为,且
求证:.
证明:在内作不与重合的任一直线,
在上取非零向量,∵相交,
∴向量不平行,由共面定理可知,存在
唯一有序实数对,使,
∴,又∵,
∴,∴,∴,
所以,直线垂直于平面内的任意一条直线,即得.
例2.已知空间四边形中,,,求证:.
证明:(法一)
.
(法二)选取一组基底,设,
∵,∴,即,
同理:,,
∴,
∴,∴,即.
说明:用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量运算取计算或证明.
例3.如图,在空间四边形中,,,,,,,求与的夹角的余弦值.
解:∵,
∴
∴,
所以,与的夹角的余弦值为.
说明:由图形知向量的夹角时易出错,如易错写成,切记!
四、课堂小结
空间向量数量积的概念和性质.
五、作业补充
已知向量,向量与的夹角都是,且,试求:(1);(2);(3).
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