空间的平行直线与异面直线教案.doc

空间的平行直线与异面直线教案 教学目的： 1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念； 2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法． 3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离 教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念. 教学难点：两异面直线所成角及距离的求法. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 二、讲解新课： 两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线． 有且只有一条设图a （1）图中哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？ （2BA1和CC1所成的角的大小． （3BC和AA1的距离． 解：（lA1不在平面BC1，而点B和直线CC1都在平面BC1内，且BCC1. ∴直线BACC1是异面直线． 同理，直线CD1、D1D、DC、AD、B1C1都和直线BA1成异面直线． （2CC1∥BB1 ∴BA1和BB1所成的锐角就是BA1和CC1所成的角． ∵∠A1BB1=45°， ∴BA1和CC1所成的角是45°． （3AB⊥AA1，AB∩AA1=A， 又AB⊥BC，AB∩BC=B， ∴AB是BC和AA1的公垂线段． ∵AB=a， ∴BC和AA1的距离是a． 说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．已知分别是空间四边形四条边的中点， （1）求证四边形是平行四边形 （2）若AC⊥BD时，求证：为矩形； （3）若BD=2，AC=6，求； （4）若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四边形的面积； （5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离. 证明（1）：连结， ∵是的边上的中点， ∴， 同理，，∴， 同理，， 所以，四边形是平行四边形 证明（2）：由（1）四边形是平行四边形 ∵， ∴由AC⊥BD得， ∴为矩形. 解（3）：由（1）四边形是平行四边形 ∵BD=2，AC=6， ∴ ∴由平行四边形的对角线的性质 . 解（4）：由（1）四边形是平行四边形 ∵BD=4，AC=6， ∴ 又∵，，AC、BD成30o角， ∴EF、EH成30o角， ∴四边形的面积 . 解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC， ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2， ∴MB＝MD＝NA＝NC＝ ∴ ∴MN是AC与BD的公垂线段 且 ∴AC与BD间的距离为. 例3 平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、a,AB=DC=2a. 由余弦定理得BD2=a2＋4a2－a·2a=3a2, ∴BD=. ∵AD2＋BD2=AB2, ∴△ABD是直角三角形. 即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°. 折起后∠ADB=∠CBD=90°. 如图,过A作AEBD,连结AC、、a2. ∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC. ∵AE⊥EC,AC2=AE2＋EC2=5a2, 由AE‖BD得∠CAE，即为AC与BD所成的角. 在Rt△AEC中,cos∠CAE=. 于是AC与BD所成角为arccos.翰林汇 例4 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角 解：取中点，连结，∵分别是的中点， ∴且， ∴异面直线所成的角即为所成的角， 在中，， ∴，