自动控制原理第5章.ppt

5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据 虚轴上有开环极点的情况通常出现在系统中有串联积分环节的时候, 即在s平面的坐标原点有开环极点。这时不能直接应用奈氏回线, 因为映射定理要求此回线不经过F(s)的奇点。 图 5-39 虚轴上有极点的奈氏回线 当s沿着上述小半圆移动时, 有 当ω从0-沿小半圆变到0+时, s按逆时针方向旋转了180°, G(s)H(s)在其平面上的映射为 ν为系统中串联的积分环节数目。 由以上分析可见, 当s沿着小半圆从ω=0-变化到ω=0+时, θ角从－90°经0°变化到＋90°, 这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从90ν°经过 0° 转到－90ν°。 【例 5-10】 绘制开环传递函数为 的奈氏图, 并判断系统的稳定性。 解 开环幅频特性和相频特性分别为 从而有ω=0+时, A(ω)=∞, φ(ω)=-90°-Δ, Δ为正的很小量, 故起点在第Ⅲ象限; ω=+∞时, A(ω) =0, φ(ω)=-270°+Δ, 故在第Ⅱ象限趋向终点(0, j0)。 因为相角范围从－90°到－270°, 所以必有与负实轴的交点。由φ(ω)=－180°得 即 上式两边取正切, 得0.5ω=1/ω, 即ω=1.414, 此时A(ω)=1.67。 因此奈氏图与实轴的交点为(－1.67, j0)。系统开环传递函数有一极点在s平面的原点处, 因此奈氏回线中半径为无穷小量ε的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧: ω: 0-→0+; θ: －90°→ 0°→ ＋90°; φ(ω): ＋90°→ 0°→ －90° 因为s 平面右半部的开环极点数P＝0, 且奈氏曲线顺时针包围(－1, j0)点2次, 即N=－2, 则Z＝P－N=2, 所以系统不稳定, 有两个闭环极点在s 平面右半部。 其程序如下： nyquist(［10］, conv(conv(［1 0］, ［1 1］), ［1 2］)) 图 5-40 例 5-10 的奈氏图 图 5-41 MATLAB绘制例 5-10 的奈氏图 【例 5-11】 绘制开环传递函数为 的奈氏图, 并判断系统的稳定性。  解 开环幅频特性和相频特性分别为 从而有ω=0+时, A(ω)=∞, φ(ω)=-180°-Δ,Δ为正的很小量, 故奈氏图起点在第Ⅱ象限;ω=+∞时,A(ω)=0, φ(ω)=-360°+Δ, 故在第Ⅰ象限趋向终点(0, j0)。  则系统的开环对数频率特性为 (5.37) 其中, Li(ω)=20lgAi(ω), (i=1, 2, …, n)。  可见, 系统开环对数幅频特性和相频特性分别由各个环节的对数幅频特性和相频特性相加得到。 【例 5-5】 绘制开环传递函数为 的零型系统的伯德图。 解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 图 5-28 例 5-5 的伯德图 【例 5-6 】 设Ⅰ型系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。  解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 图 5-29 例 5-6的伯德图 系统开环对数幅频特性有如下特点: 低频段的斜率为－20νdB/dec, ν为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。低频段(若存在小于1的交接频率时则为其延长线)在ω＝1处的对数幅值为20lgK。在典型环节的交接频率处, 对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化, 变化的情况取决于典型环节的类型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的环节, 交接频率处斜率改变±20dB/dec; 如遇二阶振荡环节 , 在交接频率处斜率就要改变－40dB/dec, 等等。 综上所述, 可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下: (1) 将开环频率特性分解, 写成典型环节相乘的形式; (2) 求出各典型环节的交接频率, 将其从小到大排列为ω1, ω2, ω3, … 并标注在ω轴上;  (3) 绘制低频渐近线(ω1左边的部分), 这是一条斜率为-20ν dB/dec的直线, 它或它的延长线应通过(1, 20lgK)点;  (4) 随着ω的增加, 每遇到一个典型环节的交接频率, 就按上述方法改变一次斜率;  (5) 必要时可利用渐近线和精确曲线的误差表, 对交接频率附近的曲线进行修正, 以求得更精确的曲线。  对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得, 也可以利用相频特性函数φ(ω) 直接计算。 【例 5-7】 已知系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。  解 将开环传递函