三角形的四心之向量关系式.PDF

數學傳播 34 卷 1期, pp. 29-34 三角形的四心之向量關係式 阮瑞泰 一、 前言 在閱讀 換個觀點看三角形的四心 (數學傳播 30 卷 2 期) 時, 內容提及 已知銳角 △ABC (BC = a, CA = b, AB = c), G 為重心、 I 為內心、 H 為垂心、 O 為外心、 此四心與三頂點的連線所形成的三個的三角形, 其面積比分別為 a△ABG : a△BCG : a△CAG = 1 : 1 : 1 a△ABI : a△BCI : a△CAI = c : a : b 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 a△ABH : a△BCH : a△CAH = c −(a − b ) : a −(b −c ) : b −(c −a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a△ABO : a△BCO : a△CAO = c (a +b −c ) : a (b +c −a ) : b (c + a −b ) 使我聯想起, 曾推論所得的三角形之四心向量關係式, 發現其係數比恰為四心與三頂點連 線的面積比。 所以我透過三角形之四心向量關係式之推論, 來驗證四心與三頂點連線的面積比。 文中用到一些現行高中教材中的公式及定理 , 及解題技巧。 如三角形的重心及內心的向量關係, 面積公式 (海龍公式) , 解方程 的克拉瑪公式, 三角形的垂心及外心的向量解題技巧, 頗適合 高中的同學們閱讀參考。 二、 本文 (一) 公式 1: 三角形四心的向量關係式 −−⇀ 已知 △ABC 的重心 G, 內心 I , 垂心 H 及外心 O, X 為空間中任一點, 試以 XA , −−⇀ −−⇀ −−⇀ −⇀ −−⇀ −−⇀ XB , XC 來表示 XG , XI , XH , XO −−⇀ 1−−⇀ 1−−⇀ 1−−⇀ 1. 重心: XG = XA + XB + XC 。 3 3 3 −⇀ a −−⇀ b −−⇀ c −−⇀ 2. 內心: XI = XA + XB + XC . a + b + c a + b + c a + b + c 29 30 數學傳播 34 卷 1期 民 99 年 3 月 −−⇀ 4 2 2 2 −−⇀ 4 2 2 2 −−⇀ 4 2 2 2 −−⇀ a − (b − c ) b − (c − a ) c − (a − b ) 3. 垂心: XH = XA + XB + XC 。 16(a△ABC )2 16(a△ABC )2 16(a△ABC )2 −−⇀ 2 2 2 2 −−⇀ 2 2 2 2 −−⇀ 2 2 2 2 −−⇀ a (b + c − a ) b (c + a − b ) c (a + b − c ) 4. 外心: XO = XA + XB + XC