衡东职业中专学校数学教案：直线与圆的方程在实际生活中的应用.doc

直线与圆的方程在实际生活中的应用 主讲：邓四云 教学目标 1、知识与技能目标 （1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 2、过程与方法：用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力． 教学重点、难点：直线与圆的方程的应用． 教学过程： 引入 通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法. 知识回顾： 1、直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别： （1）dr, 直线与圆相离； （2）d=r, 直线与圆相切； （3）dr, 直线与圆相交； 2、设圆的标准方程为 则圆心C(a，b)到直线Ax+By+c=0的距离： 知识探究一： 问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 思考1: 解决这个问题的本质是什么？（直线与圆的位置关系） 思考2: 你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？（圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别） 思考3: 如何建立直角坐标系最有利于解题？根据所建的坐标系轮船航线所在直线方程；台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？ 思考4: 直线与圆的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？ 解：如图所示以台风中心为原点，轮船所在的方向为X轴的正方向，取10km为长度单位，建立直角坐标系。则 台风所在圆的方程为： x2＋y2＝9 轮船所在的直线AB方程为： 4x＋7y－28＝0 圆心（0，0）到直线4x＋7y－28＝0的距离为（提示：8.062） ∵ r=3 ∴ dr 所以这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响。 方法总结：用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 知识探究二： 问题Ⅱ:某施工单位砌圆拱时，需要制作如图所示的木模．设圆拱高为1m，跨度为6 m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱子长度（精确到0.1m）． 思考1: 你能用几何法求支柱EP的高度吗？ 思考2: 如图所示建立直角坐标系，那么求支柱EP的高度，化归为求一个什么问题？ 思考3: 圆心会在什么位置？取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？ 思考4: 利用这个圆的方程可求得点P的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？ 解： 以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）, 圆心O’在y轴． 设半径为r，则| O’O|2+| OG|2=| O’G|2 即r2-(r-1)2=32 解得 r=5 所以圆心为（0，-4），圆的方程为x2+(y+4)2=25 将x=1代入方程（取正值）得y=-4+0.9(m) 答：E点的柱子长度约为0.9m. 2 y 港口 x o 台风 轮船 P x G F E O A B C D O’