计算固体力学方法4-有限差分法.pdf

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华中科技大学 国家CAD支撑软件工程技术研究中心 王书亭 wangst@ 课时:32 教师:王书亭 电话: email :wangst@ wangst@ 办公室:西楼A614室 本章目的: 了解计算有限差分的概念 了解计算固体力学的研究对象 了解计算固体力学方法的种类 计算固体力学方法 从弹性力学的基本方程建立以来,这 些方程在各种问题的边界条件下如何求解, 一直是很多数学工作者和力学工作者研究 的内容。即弹性力学的经典解法存在一定 的局限性,当弹性体的边界条件和受载情 况复杂一点,往往无法求得偏微分方程的 边值问题的解析解,许多工程重要问题, 不能够得出函数式的解答。 因此,弹性力学问题的各种数值解法 便具有重要的实际意义。 有限差分法 计算固体力学方法 工程中常用的数值解法有有限单元法和 差分法。 有限单元法 是以有限个单元的集合体来 代替连续体,属于物理上的近似。 差分法 是把弹性力学的基本方程和边 界条件(一般均为微分方程)近似地改用差 分方程(代数方程)来表示,把求解微分方 程的问题改换成为求解代数方程的问题,属 于数学上的近似。 有限差分法 计算固体力学方法 第一节 差分方程 第二节 应力函数的差分解 第三节 深梁应力函数的差分解 有限差分法 计算固体力学方法 第一节 差分方程 差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计 算机的普及和相应的软件发展,此法成为解弹性 力学问题的一种有效的方法。 有限差分法 计算固体力学方法 我们在弹性体上,用相隔等 间距h而平行于坐标轴的两组平行 线织成正方形网格,Δx= Δy =h, 如图。 设f =f (x ,y )为弹性体内的某一 个连续函数。该函数在平行于x 轴的一根网线上,如在3- 0- 1 上,它只随x坐标的改变而变化。 在邻近结点0处,函数f 可展为 泰勒级数如下:  2   3  f f f  (x x )  1  f (x x )2  1  f (x x )3 ... 0 x  0 2! x 2  0 3! x 3  0  0  0  0 有限差分法 计算固体力学方法 我们将只考虑离开结点0充分近的那些结 点,即 (x-x0 )充分小。于是可不计 (x-x0 )的 三次及更高次幂的各项,则上式简写为:  2  f f f  (x x )  1  f (x x )2 (b) 0 x  0 2! 

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