小学数学五年级讲义：5年级24讲抽屉原理二.docVIP

第二十四讲：抽屉原理 【课标导航】 课程目标 层次要求 简单抽屉原理的理解与应用 ★★ 抽屉原理在数字、表格、图形等问题中的复杂应用 ★★★ 根据已知条件合理选取和设计抽屉与苹果，构造最佳状态的例子 ★★★ 【知识梳理】 基本概念 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 它是组合数学中一个重要的原理。 原理1： 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。 原理2 ：把多于mn+k(k0)(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。 把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。 论证“存在”、“总有”、“至少有”的问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。一般形式的抽屉原理的是：将m个元素放入n个抽屉，则在其中一个抽屉里至少会有 (m-1)÷n+1个元素。 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 例1】．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的． 【例2】．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等． 3】．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？ 4】．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？ 5】．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于1007最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5 【例6】．如果在1，2，，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么最大是多少？ 7】．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？ 8】．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？ 9】．请说明：任意5个数中必有3个数的和是3的倍数． 10】．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。 11】．有9个人，每人至少与另外5个人互相认识．试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认识． 12】．(1)在一个边长为1的正方形里放/23个点，以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？ (2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过． 1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等． 4．将1至6这6个自然数随意填在图24-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行 5．从l，2，3，，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明： (1)在这51个数中，