小学数学迎春杯第 3 讲数论学生版讲义.docVIP

第三讲 数论综合 整除的概念 ，，c为整数，且a÷b=c，即整数b，得到的商是整数c且没有余数，那n能被b整除，或者是说b能整除a，记作a不能被b整除，或是说b不能n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做bb叫做a的约数． 整除的基本性质 如果a，b都能够被c整除，那么它们的和c整除．即：如果如果b与c的积能整除a，那么b与c都a．即：如果如果c能整除b，b能整除a，那么c能整a．即：如果如果b，c都能够整除，且b与c互质，那b与c的乘积能整除a．即：数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； 能被3(或9)整除的数的特征：各位的数3(或9)整除； 能被4整除的数的特征：末两位数能够4(或25)整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是05； 能被7(或13)整除的数的特征：一个整7(或13)整除； 能被8整除的数的特征：末三位数能够8(或125)整除； 能被11整除的数的特征：奇数位上的数11整除． 质数与合数 一个数除了l和它本身，不再有别的约数，那2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：2和3都是54的质因数． 利用分解质因数求约数的个数 A包含各个质因数的个数．那A的所有约数的个数为300的所有约数(2+1)(1+1)(2+1)=18个．那A的所有约数的 约数与倍数约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关 公约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；例如：12的约数有1，2，3，4，6，12．18的约数有l，2，3，6，9，18 那么它们的公约数有l，2，3，6；其中最大公6． 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；例如：15的倍数有：15，30，45，60，75，90， 105，120，…． 10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70， 80。90，…．那么它们的公倍数有30，60，90，…是有无穷30． 互质的概念 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个显然的，两个不同的质数一定互质 辗转相除法求最大公约数； 约倍关系 例题 约数与倍数 例题1.甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是 例题2.今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分 堆。 例题3．一年级有72名学生课间加餐费共交x52．7x 元 (x辨认不清) 每人交了 元. 整除性 例题4．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 。 例题5．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个。 例题6．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？ 例题7. 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除 余数与同余 例题8．两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是 例题9．已知一个两位数除1477，余数是49。那么，满足那样条件的所有两位数是 。 例题10．一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这列数的组成规律是第2个数比第一个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是 例题11．一个自然数除以19余9，除以23余7。那么这个自然数最小是 尾数问题 例题12．自然数12×12×12×……×12（2004个12连乘）的末位数字是多少？ 例题13．1×2×3×……×100的末尾有连续的多少个零？ 质数合数及质因数分解 例题14.某校师生为贫困地区捐款1995元，这个学校共有35名教师，14个教学班。各班学生人数相同且多于30人不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款 元。 例题15．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积均是420，求这些最简真分数 测试题 两个数的最大