小学数学迎春杯第 4 讲杂题教师版.docVIP

第四讲 杂题 这一讲主要涉及逻辑推理、排列组合、最值问题、容斥原理、抽屉原理等几部分知识。由于这些知识的题型较为灵活，因此在迎春杯中，每次都要占到2至3题。希望同学们把这部分知识中基本题型掌握全面，并在竞赛中取得好的成绩。 知识概要： 加法原理和乘法原理：在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。 抽屉原理：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 例1．有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做 次，就能使这6个学生都面向北 解答：最少需要转6次，我们把6个学生能编为1号-6号，第一次1号不转，第二次2号不转…第六次6号不转，所以最后每个人都转了5次，所以6个学生都面向北了. 例2．某花园的小径如图50所示。一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→…→1）。如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）。 　 解答：这是个一笔画问题，需要考察“奇点”的个数，只有当奇点个数是0或2时才可以一笔画，而这个图里的奇点有8个，显然不能一笔画，每重复走一条小径可以消灭2个奇点 所以至少要重复走4条小径，例如1-2,3-4,5-6,7-8 例3．一次环保知识竞赛，一共有10道判断题。每答对一题得10分，答错或不答都得0分。请你根据A、B、C三份答卷和所得的分数，推测出答卷D的得分是 。 （ 和 是判断“对”、“错”的符号） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 A 70 B 50 C 30 D （ ） 解答：比较一下A和C的答案，2，4，5，10题的答案是不同的，其余都相同，而A比C高了40分，这说明这4个题目A都对了，而C都错了，同时我们发现这些题目B也都错了 再比较B和C,他们只有6，9的答案不一样，而B比C高20分，说明B这两个题目都做对了，C都做错了。最后看剩下的1，3，7，8这4个人的答案都完全一样，因为B得分为50，他的6，9做对了，说明1，3，7，8中他做对了3题，因此D在这4题中也得了30分 根据2，4，5，6，9，10的答案我们容易发现D在这6题中对了3道，因此D的得分为60分. 例题4．有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚共分成100堆，其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的与3枚黑子的堆数相等。那么在全部棋子中，白子共有 枚。 解答：按照白子个数来给各堆分类，设没有白子的有a堆，有1枚白子的b堆，2枚白子的c堆，3枚白子的d堆 那么b=27,a+b=42,a=d,a+b+c+d=100容易算出a=15,b=27,d=15,c=43 所以白子个数为27+43*2+15*3=158 例题5．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为五边形，白色皮子为六边形，并且黑色五边形与白色六边形的边长相等。缝制的办法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色六边形皮子 块。 解答：12*5/3=20块 例题6．红领巾春节慰问小组在确定去敬老院演出的节目名单时，遇到了如下问题：除