小学数学迎春杯第 6 讲 逻辑推理和迎春杯竞赛中常用数学方法 【教师版讲义】.docVIP

第六讲 逻辑推理和迎春杯竞赛中常用数学方法 逻辑推理 逻辑推理基础问题 1．有些问题的解答不需要很多的计算，而是运用逻辑推理知识，通过分析推理而解 2．分析推理问题是由众多条件组成的判断性问题．要将许许多多、真真假假的表面 3．推理要有前提，从正确的前提出发，才能得出正确的结论，它前后一致，不会自相 择前提是至关重要的一步．分析推理与反证法结合使用会收到较好的效果． 4．解答分析推理问题可采用枚举法、筛选法、假设法等推理论证方法．在推理过程 “矛盾律指的是在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个 一件不正确，则另一件必定正确． 5．数学的一个基本特点是严格按照定义或运算规律进行计算、推理或 新运算类型的试题逐步在多种试题中出现，这要求我们严格按照新定义作分析推理，以获得 问题的解决． 6．逻辑思维是数学思维的核心，它对学生掌握数学知识，认识社会有重要的意义．由 (1)顺推法 顺推法就是从已知条件出发，顺着条件进行推理，或假设其提供的某一个线索的条件为真(或为假)，然后导出矛盾，进而得到结论．对“逻辑变化”较少的逻辑问题，顺推法是通常被采用的方法之一，但有时要分析多种情况才能获得正确答案． (2)表格法 表格法就是采用列表的方法解逻辑题．这也是经常被采用的方法．在这里，所列出的表格通常称为“逻辑表”．采用列表法解逻辑题并无统一的格式． (3)图示法 图示法就是用示意图来解条件较为错综复杂的逻辑推理题．解这一类逻辑题时要将题目中的条件和推理过程用一个简单的图表示出来．它的优点是形象直观，为解答某些题目带来极大的方便． 例题1. 【2001·我爱数学少年夏令营·数学竞赛题10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘．记分办法是胜一盘得1分，0．5分，负一盘得0分，比赛结果是选手们所得分数各不相同．第一名和第二名l0分，第四名与最后四名得分总和相等，则第三 【全解】每人要赛9盘，前两名都没输过，比分又不同，所以第一名不大于8．5分，第8分．因为后四名之间赛6盘，后四名得分总和至少是6分，所以第四名至少 6分．再由前两名韵总分比第三名多10分，即第三名至多得6．5分，所以第三名得6．5 6分． 2002·我爱数学少年夏令营·数学竞赛题10去韩国看世界杯的6位游客A，B，C，D，E，F分别来自北京、天津、上海、扬州、南京 (1)A和北京人是医生，E和天津人是教师，C和上海人是工程师； (2)A，B，F和扬州人没出过国，而上海人到过韩国； (3)南京人比A岁数大，杭州人比B岁数大，F最年轻； (4)B和北京人一起去光州，C和南京人一起去汉城．则A是人，职业是B是人，职业是；C是人，职业是；D是人，职业E是人，职业是；F是人，职业 【全解】 由(1)，知A，E，C都不是北京人、天津人、上海人． 由(2)，知A，B，F不是扬州人，也不是上海人． 由(3)，知A不是南京人，B不是杭州人，F既不是南京人也不是杭州人． 由(4)，知B不是北京人，C不是南京人． 由此可画出下面表格 2000·吉林综合竞赛·题10某班学生在运动会上，进入前三名的有l0人次，已知获第一名可得9分，获第二名可5分，获第三名可得2分，其他名次不记分，该班共计得61分，其中获第一名的至多有 【全解】9×7=6361，获第一名的人次少于7． 如果有6人次获第一名，除第一名的得分外，剩下61-9×6=7(分)，不可能是4人 如果有5人次获第一名，除第一名的得分外，剩下61-9×5=16(分)，可以是第二名 2人次，第三名3人次，符合题意． 因此获第一名的至多5人次． 【评述】先假设获第一名有六人次，由分析可知，不成立；假设为五人次，得解． 2001·吉林队际竞赛·题4 二月份的一个星期日，有三批学生看望老师，这三批学生的人数不等，且没有单独一人看 【全解】因为二月份的天数不超过29天，而3个大于1的不同整数的积不超过29， 2，3，4，所以看望老师这天是 2×3×4=24(号)．由2月24日是星期日，推知二月一日是星期五． 2001·吉林综合竞赛·题7A，B，C，D四个同学猜测他们之中谁被评为三好学生． A说：如果我被评上，那么B也被评上． B说：如果我被评上，那么C也被评上． C说：如果D没被评上，那么我也没被评上． 实际上他们四人之中有一人没被评上，并且A，B，C说的都是正确的，可知没 【全解】如果A被评上，由A，B所说，推知A，B，C都被评上，只有D没被评上，这 C所说矛盾．所以A没被评上．