Banach空间中具有非局部条件的积分微分方程.pdfVIP

第 1O卷第 4期 扬州大学学报(自然科学版) Vo1．10 No． l 2007年11月 journa[of Yangzhou University(Natural Science Edition) NOV．2007 Banach空间中具有非局部条件的积分微分方程 张 进 ，练婷婷，李 刚 (扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002) 摘 要：讨论了Banach空间中一类具有非局部条件的半线性积分微分方程，利用Banach空间中半线性微 分方程理论和方法、Hausdorff非紧测度性质和不动点技巧，在空间无需可分的条件下．得到当半群失去紧 性时上述方程在不同条件下适度解的存在性，改进和推广了该领域的一些已知结果． 关键词：Hausdorff非紧测度；积分微分方程；C。一半群；适度解 中图分类号：0 175．15；0 177．91 文献标识码：A 文章编号：1007—824X(2007)04—0021—05 本文主要讨论Banach空间 中具有非局部初始条件的半线性积分微分方程： rf du(￡)／dt—Au(f)+l K(￡，s)f(s，U( ))ds，t∈(0，6]， (1) J 0 (O)一 g( )+ Uo (2) 的适度解存在性，其中 为线性算子半群{丁(￡)：￡≥0}的无穷小生成元， ：[O，6]× — ，g：C([O， 6]； )一 ，K：[O，6]×[O，6]一R 为适当函数，6O为常数． 近年来，Banach空间中微分方程和积分方程解的存在性问题已经引起人们的广泛关注．[1 非局 部问题是古典Cauchy问题的推广，较经典的Cauchy问题在实际中有更好的应用．BYSZEWSKIE 最 早研究了非局部Cauchy问题的经典解、强解和适度解的存在性和唯一性．关于非局部Cauchy问题 的各种不同类型的方程也有很多研究报道[6_副．最近，XUEE ]，FANEu 等人也在这方面进行了深入 研究，取得了很好的成果．在本文中，笔者拟利用非紧测度和不动点理论，研究在丁(￡)，f失去紧性和 不需要 可分的情况下，方程(1)，(2)适度解的存在性，以推广和改进已知的一些结果． 1 预备知识 设( ，ll·l1)是一个实的Banach空间，c([O，6]； )表示定义在[O，6]上 值的向量连续函数 空间，其范数为ll U ll=sup(1l (￡)ll，t∈[O，6]}，其中U∈c([O，6]； )．可测函数U：[O，6]一 称为 Bochner可积，当且仅当￡一 ll U(￡)ll Lebesgue可积，记为L (O，b；X)={U：[O，6]一 l U Bochner可 积)，其范数定义为ll ll —I ll (￡)ll dt． J 0 定义1 设y是实Banach空间，B是y中任一有界子集，令 (B)一inf{eO；B在y中能被有 限个半径不大于￡的球所覆盖}，则称 (B)为B在y中的Hausdorff非紧测度． 引理1[】z]。 设y，Z是实Banach空间，B，c是y中有界集， 是实数，则有① (B)一O甘B是 相对紧集；② (B)一 (百)一 (conv B)，其中豆和conv B分别表示B的闭包和凸包；③B c (B)≤ (c)；④ (B+c)≤ (B)+ (c)，其中B-FC={ — + ：．27∈B， ∈C)；⑤ ( B)≤ (B)，其中2B={ 一 ： ∈B}；⑥若映射0：D( ) y—z是I ipschitz连续的，且其Lipschitz常 数为 ，则对任意有界集B D( )，有 ( )≤ (B)；⑦若{ ) 是y中非空有界闭集的降列 收稿日期：2007一O8一l8 基金项目：国家自然科学基金资助项目