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单值函数的奇点
单值函数的奇点单值函数的奇点
孤立奇点孤立奇点 若函数若函数ff ((zz)) 在某点不可导在某点不可导，但在该点的某但在该点的某一去心去心
邻域内可导，则称该点为f (z) 的孤立奇点。
非孤立奇点立奇点 若函数f (z) 在在某点点不可导，且在该点在该点的任任一邻邻
域内总有该点以外的奇点存在，则称该点为非孤立奇点。
1
例例 44.1177 zz 00 是函数是函数 ff ((z )) 的的一个孤立奇点个孤立奇点,而而 zz 00
z
1
11
是函数f (z ) sin 的一个非孤立奇点.
z
1
设z b 是单值函数f (z ) 的一个孤立奇点,则一定存
在环域0 z b R , f (z ) 在该环域内可以展开 Laurent
级数f (z ) C z b k 。这时可能出现三种情况：
k
k
1、级数不含负幂项，b 称为可去奇点。
2 、级数展开式含有m 项负幂项，b 称为 m 阶极点。
33 、级数含有无穷多项负幂项级数含有无穷多项负幂项，bb 称为称为本性奇点本性奇点。
2
nn 22 n
sin z 1 z
例 z 0 是函数f (z ) , z
zz 22nn 11 !!
n 00
1
的的可去可去奇点奇点;;zz nn是函数是函数ff ((zz )) 的的一阶极点阶极点;;
sin z
1
z 00 是函数是函数f (z ) ez 的本性奇点的本性奇点.
3
判定孤立奇点的性质判定孤立奇点的性质
1、f (z ) 以孤立奇点 b 为可去奇点的充要条件为以下
三条中的任一条三条中的任一条::
aa. ff ((zz )) 在在 bb 点没有主部点没有主部．
b.极限lim f (z ) 存在且有限．
z b
c
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