四边简支矩形板受均布荷载时的应力分布-湖南大学.PPT

湖南大学力学系 弹性力学 板壳理论 13章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法 13.1 概念及计算假定 13.2 弹性曲面的微分方程 13.3 薄板横截面上的内力及应力 13.4 边界条件 扭矩的等效剪力 13.5 简单例题 13.6 简支边矩形薄板的纳维叶解法 13.7 矩形薄板的李维解法及一般解法 13.8 圆形薄板的弯曲 13.9 圆形薄板的轴对称弯曲 13.10 轴对称弯曲问题的实例 13.11 圆形薄板在静水应力下的弯曲 13.12 变厚度矩形薄板 13.13 变厚度圆形薄板 可以根据平衡条件直接算出来， 取半径为r的中间部分板，有以下平衡方程： 从而 易知在薄板中心有最大挠度 2、设半径为a的薄板具有简支边，则边界条件为： 将挠度及弯矩表达式代入边界条件中，解出 从而 此时，薄板中心有： 周边固支的圆形板受均布荷载下的弯曲 周边固支的圆形板受均布荷载下的应力分布 3、对于边界受均布力矩荷载的简支情形，可进行类似分析（看书）。 4、分析内外半径分别为a, b的圆环形薄板，设内边界简支，外边界自由并受分布力矩M作用。 因板不受横向荷载，故特解可取为0，故有： 边界条件为： 将挠度及内力表达式代入边界条件，解出常数，得到： 设圆形薄板的一面受静水应力作用，荷载情形如图 该荷载可以分解为 的均布荷载和 的反对称荷载。 均布荷载的解上节已经得到，这里讨论反对称荷载的解。 将荷载化为极坐标表示： 将荷载代入弹性曲面微分方程(13-28)，得到： 该方程的特解可取为 ，将其代入以上方程，可以确定A，即： 此外，设齐次解有如下形式： ，代入齐次方程，有： 该方程的解为： 挠度的全解为： 由于板中心无孔，为使中心处挠度及内力不致无限大， ，上式简化为： 1. 对于夹支边，边界条件为 将w的解代入上式，求出 ，从而得到： 由(13-29)得到内力表达式为： 2. 简支边边界条件 同理求得挠度解： 内力为： 在13-3节中导出了等厚度薄板的弯矩和扭矩表达式： (a) 对于厚度变化平缓的板，上式仍然成立，只需讲弯曲刚度看做x和y的函数： 然后将(a)代入平衡方程(13-16)，得到： 将上式展开，得到： (13-41) 该方程为变系数微分方程，一般无法得到统一的解析解；但对于某些特殊的厚度分布情形，却较易求解。 假定厚度t沿y方向线性变化，则其厚度可以表示为： 利用 的表达式及(13-12)，边界条件可表示为： 同样在 边上也有类似的边界条件。 图示椭圆形薄板，边界方程为 受均布荷载q作用，试求解该问题 取挠度w表达式为 代入弹性曲面的微分方程(13-10)，得 解出m后代回w表达式，得 将该挠度表达式代入(13-12)中，可以得到板的中面内力 等。 从上式易知，最大、最小弯矩发生在B点和O点。 若令a趋于无穷大，还可以导出梁的弯矩方程。 再考虑一个四边简支的矩形薄板，设其角点B有沉陷 不计支承构件的弯曲，则BC及AB边保持为直线，其挠度为 这就是该两边的边界条件，此外，还有弯矩条件 而在OA及OC边上，边界条件为 取挠度表达式 将w表达式代入(13-12)有 ，因而弯矩条件也满足。故上式就是挠度的正确解。 显然它满足所有位移边界条件。 由(13-22)，B处的集中反力为： 四边剪支矩形薄板的边界条件为： 纳维叶将挠度w表示为如下重三角级数形式 将其代入弹性曲面微分方程(13-10)，得到 为求出系数 ，将q也展为重三角级数 其中 为 然后对比方程两边相同级数项的系数，得到 如果q为均布荷载，则上式中的积分可以算出 (d) 四边简支矩形板受均布荷载时的弯曲 四边简支矩形板受均布荷载时的应力分布 若板在任意点 受集中荷载P作用，则 代入(d)式，得到 此时w表达式为 对于该集中力情形，当x和y分别等于?和?时，各内力的级数表达式都不收敛，因为在集中力作用处应力是无限大的，从而内力也是无限大。 纳维叶解法的特点： 适用于任意荷载，级数运算简单； 只适用于四边简支且边界无外力矩薄板情形； 级数解答收敛较慢； 对于图示两边简支的矩形薄板，挠度可以取如下单三角级数形式： 显然，该级数在x=0,或a两边满足边界条件。将上式代入弹性曲面微分方程： 得到： 将该式右边展为 的级数，得到： 比较方程两边同阶三角函数项系数，得到： 该方程的解可以表示为： 这里