圆中常用辅助线的作法剖析.ppt

圆的常用辅助线及作法 圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。 弦与弦心距，亲密紧相连。　 中点与圆心，连线要领先。 两个相交圆，不离公共弦。 两个相切圆，常作公切线。 圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。 二、常用辅助线作法的应用 在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。 例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC =BD。 例2、已知：MN 切⊙O于A点，PC是直径，PB ⊥ MN于B点， 求证： 在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。 例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点，∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的度数。  在解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。 例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、CD分别交⊙O 和⊙O 于A、C 和B 、D。求证：AC∥BD 。 * 尝试练习一 尝试练习二 数学歌诀 作法及应用 弦心距 直径圆周角 切线径 两圆相切公切线 中点圆心线 两圆相交公共弦 尝试练习 圆的常用辅助线及作法 常用思想 一、添设圆的辅助线的常用思想 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。 圆的常用辅助线作法的“数学歌诀” 2.1、弦心距 ----有弦，可作弦心距。 由垂径 定理得： AE = EB， CE = DE 证明：过O作OE ⊥ AB， 垂足为E。 E 即：AC = BD ∴ AE - CE = BE - DE 在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。 2.2、直径圆周角 ----有直径，可作直径上的圆周角. 分析： 证明：连结AC、AP ∵ PC是⊙O的直径 ∴ ∠CAP = 90 ° ∵ PB ⊥ MN ∴ ∠PBA = 90 ° ∴ ∠CAP = ∠PBA ∵ MN 是⊙0的切线 ∴ ∠BAP = ∠ ACP 2.3、切线径 ----有切点，可作过切点的半径。 ∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130° 解：连结 OB、 OC ， ∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB， AC⊥OC， 在四边形ABOC中，∠A = 50° ∴ ∠BPC = = 65° ∴∠ABO = ∠ACO = 90° 在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。 2.4、两圆相交公共弦 ----两圆相交，可作公共弦。 例4、如图，已知：⊙O 和⊙O 相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交⊙O 和⊙O 于C 、D；过B点的直线EF分别交⊙O 和⊙O 于E 、F 。求证：CE∥DF 。 ∴CE∥DF 1 2 2 2 1 1 2 1 证明：连结AB 四边形ACEB是⊙O 　的内接四边形 ∴ ∠DAB = ∠E 四边形ABFD是⊙O 的内接四边形 ∴ ∠DAB +∠F = 180° ∴ ∠E +∠F = 180° 2.5、两圆相切公切线 ---两圆相切，可作公切线. M N 证明：过T点作两圆的内公切线MN 1 2 1 2 在⊙O 中，∠A= ∠CTN 在⊙O 中， ∠B= ∠DTM 又∵ ∠CTN = ∠DTM ∴∠A= ∠B ∴AC∥BD 在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的