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专题十三直线与方程汇编
[考试标准]
单 元 知识条目 考试要求 直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角及其取值范围
(2)直线的斜率的概念
(3)经过点P1(x1, y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 b
b
c 2.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行的判定
(2)两条直线垂直的判定 c
c 直线的方程 1.直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程
(2)直线的斜截式方程
2.直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程
(2)直线的截距式方程
(3)平面上两点连线的中点坐标公式 c
c
b
b
c 3.直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程
(2)直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式 b
c 直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
(2)根据直线方程确定两条直线的位置关系 c
b 2.距离
(1)平面上两点间的距离公式
(2)点到直线的距离公式
(3)两平行线距离的求法 c
c
b
一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角
(1)定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
二、直线方程的几种形式
名 称 几何条件 方 程 局限性 点斜式 过点(x0,y0),斜率为k y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 斜率为k,纵截距为b y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2) = 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0) +=1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 三、两条直线的交点坐标与距离公式
1.位置关系的判定
斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1或
y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)或A2x+B2y+C2=0(A+B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1=-或
k1k2=-1 A1A2+B1B2=0
平行 k1=k2
且b1≠b2
或
2.两条直线的交点
设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之亦成立.
3.三种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式
d(A,B)=|AB|=.
(2)点到直线的距离
点P(x1,y1)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线间的距离
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.
直线xcos θ+y+m=0的倾斜角α的范围是________.
【点拨】 先求斜率的取值范围,根据斜率为倾斜角的正切值求出倾斜角α的范围,要理解正切函数的性质,可得直线倾斜角的范围.
【解析】 由题知直线的斜率k=-cos θ,所以-1≤k≤1,当倾斜角α为锐角时有0≤k≤1,故α,当倾斜角α为钝角时有-1≤k<0,故≤α<π,综上α∪.
【答案】
下列四个结论:
方程k=与方程y-2=k(x+1)表示同-直线;
直线l过点P(x1,y1),倾斜角为,则其方程为x=x1;
直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1;
所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【点拨】 理解概念是基础,如倾斜角、斜率、截距、直线方程的形式与适用条件等.
【解析】 中k=表示的直线上少-点(-1,2),y-2=k(x+1)则表示整条直线,故不正确;正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故不正确.
【答案】 B
过点P(-1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________.
【点拨】 根据条件合理选择方程形式,特别关注概念的理解,如斜率要考虑存在与不存在的情况,截距要关注过原点的情形.
【解析】 直线l过原点时,l的斜率为-2,所以直线l的方程为y=-2x;直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1,将点(-1,2)代入,得a=1,所以直线l
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