半径概念的推广和分析 - HKU.PDF

半径概念的推广和分析 院系：数学与计算科学学院 作者：叶永滔 科学计算与计算机应用系 指导老师: 巫斌副教授 摘要： 文章提出推广圆和球的半径定义的想法，用于定义多边形和多面体的半径。在此定义方法 下，面积对半径求导结果等于其周长，体积对半径求导结果等于其表面积。 通过研究圆的周长和面积、球的表面积和体积关于半径的关系，引出对相关规律的探究与分 析，进而建立了一套半径体系。文中得到的结论还具有实际应用意义，如用于地皮面积的测量。 关键词：半径 求导 周长 面积 表面积 体积 一、半径定义的推广 （一）圆和球的半径定义 自古就有许多知识分子在研究半径这个几何概念，半径也在几何学中扮演着重要的角色，影响 着几何学的发展。在几何学中，圆的半径定义为圆心到圆周上任意一点的距离，而球的半径定义为 球心和球面上任意一点的距离。当半径已知时，我们可计算圆的周长和面积，以及球的表面积和体 积。换句话说，圆的周长和面积或球的表面积和体积都能唯一表示成关于半径的一元表达式。 我们发现，圆的面积对圆的半径求导结果等于圆的周长，即 ；球的体积对球的 半径求导结果等于球的表面积，即 。 上述求导关系的成立并非偶然，我们将在下一节作严格的理论分析。然而，若我们只对圆和球 能定义半径，则以上关系无法推广到其他图形。下面我们将半径的定义进行推广。 （二）半径定义的推广 1、定义正多边形和正多面体的半径(1) （2） 正多边形有边长属性几何量 ，可用只含边长作为变元的一元表达式唯一表示其周长和面积 同理，正多面体有棱长属性几何量，其表面积和体积能唯一表示成只含棱长作为变元的一元表达 式。下面我们仿效圆的半径定义方法，定义该类图形的半径。 (1) 注释： 圆看成特殊的正多边形，球看成特殊的正多面体。 (2)属性几何量:能只通过此类变量就可清晰表述出图形的几何性质。 具体来说，我们定义：正多边形 （正多面体）的外接圆 （球）的圆心 （球心）到任一边长 （面）的距离，称正多边形（正多面体）的半径。以正六边形为例。设a 是正六边形的边长，则 正边形的半径： 正六边形的周长： 正六边形的面积： 显然，正六边形的面积对正六边形的半径求导恰好就是正六边形的周长。 (1） 2、探究不规则多边形和不规则多面体 的半径定义方法 （1）考虑长方形的情形 长方形有长和宽两个属性几何量，周长和面积公式都是二元表达式（见图1）。 长方形的周长： ,长方形的面积： 。 长方形 令 , ， 求偏微分 长方形的面 积分别对长方形的长的一半和宽的一半的偏微分之和等 于长方形的周长。所以，我们认为对正多边形成立的求 导关系在长方形上依然存在。但由于长方形的周长和面 积都无法表示成只含一个属性几何量作为变元的一元表 达式，因此长方形的半径的定义不能效仿正多边形的处 图1 理方法。 （2）不规则多边形和不规则多面体的半径定义法则 一般的不规则多边形或不规则多面体都不能只通过一个几何量清晰表述出来，相应地，也无法 定义一个精确的属性几何量作为半径，然后通过该半径的一元表达式去反映该图形精确的周长和面 积或表面积和体积。因此，我们尝试用近似的思想给出该类图形的半径定义法则： 不规则多边形（多面体）的几何中心到其各边（面）距离的几何平均数称为不规则多边形（多 面体）的半径。 仍以长方形为例（见图1）： (1) 注释： 不规则多边形：不能只用一个属性几何量清晰表述出图形的几何