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数理结合 相得益彰 —— 物理问题中的几个常用数学方法 福州格致中学 颜有虹 在物理解题中，常常运用数学方法对物理问题进行分析、推理和计算。如何运用数学知识来对有关物理问题进行计算是体现学生基本素质和能力的重要方面,但也是学生最感困惑的难题之一。究其原因，既有学生对有关物理概念、规律理解不足，无法从已知条件中抽象出数学问题的一面；也有数学运算本身不熟练，不能纯熟地使用数学工具的一面。因此，在教学中要有意识地引导学生总结用数学方法来解决物理问题的思路和技巧，加强数学、物理两学科的横向联系。本文仅从一些例题谈谈几个常用数学方法在物理问题中的应用。 利用比例求解 利用合分比性质求增量 例1：一个电容为0.05μF的电容器，其两板带电量增加3×10-6C后，极板间电压为90V，求原先两板间的电压是多少？ 分析和解：对于给定电容器有C==恒量， 由合分比性质可得：C====。 因此有===， == =。 该题应用合分比性质比直接用前后状态比值求解，计算较简捷，且可明显体现出物理过程的变化特点。 利用等比性质巧解 例2：如图：长为5m的绳子两端分别系在相距4m的两杆上，中间用光滑挂钩挂上一个重为12N的物体，试求平衡时绳子的张力是多少？ 分析和解：由于钩光滑，所以左右两端绳子对钩的拉力大小相等，与水平方向的夹角也相等。设两绳与水平方向的夹角为α，则有：2Tsinα=G， 且由等比性质可得： cosα ====== 。 因此可得 sinα== ， == T = 10N 。 利用比例关系求解比值问题： 以往学生遇到比值问题的求解，往往是根据两种情况分别导出它们的表达式，用两式相除消去相同的物理量。这种做法较易理解，但计算式较长，其书写过程就过于繁琐了。 例3：静止氘核经电势差为U1的加速电场加速后垂直射入电势差为U2的两块平行极板间的电场之中，射出平行板区时偏转距离为y；若静止氦核经过加速电压、偏转电压均为原来两倍、其余条件相同的加速电场和偏转电场，还能射出平行板区，则其偏转距离是 。 分析和解：本题属比值问题，电场中的偏转距离公式为 y== 。 对本题中的氘核、氦核来说，d、L都是常量，因而y与U2/U1的比值成正比， 即 ===1 。 本题如果分别求出y和y/的表达式再相除，费时就偏多，且本题用比例法可更好地揭示出偏转距离与偏转电压和加速电压的函数关系，有利于学生对物理量间决定关系的理解。 利用比例函数性质求解比值的一般步骤是： 利用物理规律找出已知量和待求量的函数关系； 把式中所有的物理量都变成已知量、待求量和本题中的不变量或相同量； 列出已知量和待求量的函数关系——成何比例，并针对题中的两种情况列出比例式求出比值。 2、利用三角形性质求解 利用相似三角形对应边成比例 例4：如图所示，一个重为G的小环套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一个劲度系数为k自然长度为L（L2R）的轻质弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。求小环处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ。 分析和解：小球受三力如右下图所示，作N与G的合力F/，则F/与弹簧弹力F平衡。 由图中显然可得出∽， 所以N=G，F/=2Gcosφ=F=k（2Rcosφ-L）， 整理可得 φ=arc cos。 在静力学中往往通过物体的平衡条件构画出力的三角形，再找出与其相似的三角形后结合比例或三角函数求解。 在光学中经常利用相似三角形找透镜成像中像距、物距、焦距和像长、物长的关系，也经常利用相似三角形找平面镜成像中观察点到镜面距离、观察点到像的距离以及像长和镜长之间的关系。 利用正弦定理 例5：将已知力F分解为F1、F2两个分力，如果已知F1的大小及F2与F的夹角θ，且θ小于90°，则：（ ） 当F1 F sinθ时，F2一定有两个解； 当FF1 F sinθ时，F2一定有两个解； 当F1 F sinθ时，F2有唯一解； 当F1 F sinθ时，F2无解。 如图所示，由力的三角形法则可知，F1、F2、F应构成三角形的三条边。由三角形的正弦定理可推出选项BD是正确的。 3、不等式及不等式组 不等式和不等式组是数学教学中的重难点之一，学生在掌握上有一定困难，使用起来就更加不灵活。在解物理题中求解条件范围的问题时往往不能做到在仔细分析题意后列出解题所需符合条件的不等式求解，尤其不善于解不等式组；而习惯于用不对过程的透彻分析，只凭直觉找临界条件直接列方程求解，这样，一方面在解出临界条件后无法转而求出题目要求的条件范围；另一方面，也不利于对分析能力的培养。因此在教极限法解临界问题时要有意识得要求学生多用不等式列条件范围，既巩固了数学知识，又加深了对物理过程的分析和理解，培养了想象力。 例6：火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道山相距s处有