n维欧氏空间中的点集.pptVIP

2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识 n维欧氏空间 n维欧氏空间中点列的极限与完备性 n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域 本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间中的点集。 向量空间往往成为数学研究的载体和对象。 分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。 本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。 * * 1. n维Euclid欧氏空间 See P.2 定义距离 定义(邻域)： 向量空间Rn中所有和定点a的距离小 于定数d的点的全体,即集合 称为点a的d邻域, 记作 显然，在R1, R2, R3 , U(a,d)分别是以a为中心以d为半径的开区间、开圆和开球. 邻域具有如下的基本性质： (1) (2) 对于P的两个邻域 存在邻域 (3) 对于 存在Q的邻域 (4) 对于 存在P和Q的邻域 使得 2. Rn中点列的极限 点列的极限 (I) e-N式定义： (II) 邻域式定义： See P.2,定义1.1 定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛. See P.3定理1.1 例子 性质： 1. 点列的极限是唯一的； 3. 点列的收敛满足线性性； See P.3定理1.2 收敛点列必为有界点集 6. n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy点列 See P.3 定理1.4 See P.3 定理1.3, 5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列. Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 点集的直径： 一个非空点集A的直径定义为 有界点集： 一个非空点集A称为有界集合，若 直径及有界点集 点集的距离 两个非空点集A, B的距离定义为 注：若A={P*}，即A为单点集，则可记 欧氏空间中点集的一些基本概念——区间 若将其中的不等式全部换成 则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、 左闭右开区间，统称为区间，记作I。 称为I的第i个边长； 称为I的体积，记作|I|. 定义： 中的点集 称为一个开区间； 3. 欧氏空间中的各类点集 考虑向量空间Rn中的点与给定点集之间的关系。 设A为Rn中的一个点集，a为Rn中的点，则a和A的关系具有如下几种： (1) a附近全是A的点，即存在a的某邻域 此时,称a为A的内点； (2) a附近全不是A的点，即存在a的某邻域 此时称a为A的外点； (3) a附近既有A的点，又有不属于A的点，即对a的任意邻域U(a), 此时称a为A的边界点，简称界点； (4) a附近有A的无穷多个点，即对a的任意邻域U(a), 为无限集合， 此时称a为A的聚点； (5) a附近除a外没有A的点，即存在a的邻域U(a), 此时称a为A的孤立点。 点与点集间的关系 显然，空间中任意的点a是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即 (1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) A中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。 聚点 关于聚点，下面三条是等价的： a是A的聚点； a的任意邻域内，至少含有一个属于A而异于a点； 存在A中互异的点所成的点列 See P.4定义1.2 内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部，记作 (3) A的全体外点所成的集合，称为A的外部，记作 (2) A的全体边界点所成的集合，称为A的边界，记作 (5) A与A的导集的并集，称为A的闭包，记作 闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论： 这样可知： See P.4定义1.2 See P.6例1.1-1.2 (4) A的全体聚点所成的集合，称为A的导集，记作 开集和闭集 定义：若集合A的每一点都是A的内点，则称A为开集； 若集合A的每一个聚点都属于A，则称A为闭集. 开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质： (1) 对任意的点集A， (2) 点集A是开集当且仅当 A是闭集当且仅当 (3) See P.6定义1.5 (4) 若A为开集，则A的余集为闭集，若A为闭集， 则A的余集为开集； (5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集； (6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集分别包含这两个闭集。 See P.7定理1.6 See P.8定理1.7 Rn中的有界集和紧集 See P.9定义1.6 定义(连通集)—