§古典概率模型和几何概率模型.pptVIP

一、古典概率模型 例7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，…，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。 解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,…,10)，则试验的样本空间为S={1,2,…,10}，因此基本事件总数n=10。 又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则 A={2,4,6,8,10}， 所以A中含有k=5个样本点，故 古典概型的基本类型举例 古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。 例9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球， n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率； 解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 (2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。 解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 所以最后所取的球是白球的概率为 一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(n?N)，则每盒至多有一球的概率是： 例11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率： A={某指定的一个盒子中没有球}B={某指定的n个盒子中各有一个球}C={恰有n个盒子中各有一个球}D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。 事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 *二、几何概率模型 * * §1.4 古典概率模型 和几何概率模型 如何确定事件的概率是概率论中的基本问题． 　 古典概率模型和几何概率模型是概率论中两种最基本的概率模型，在这两种概率模型下计算事件的概率是本节的主要任务． 1o 只有有限多个基本事件，并记它们为 ω1, ω2, …，ωn ； 一类最简单的随机试验具有下述特征: 2o 每个基本事件发生的概率相等，即 这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的 主要研究对象，谓之为古典概率模型，简称为古 典概型． 古典概型在概率论中有很重要的地位，一方 面是因为它比较简单，许多概念既直观又容易理 解，另一方面是因为它概括了许多实际问题，有 广泛的应用． 对于古典概型下的任何事件A，若A中所包含 求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具. 基本计数原理 1.加法原理 设完成一件事有m类方式， 第一类方式有n1种方法， 第二类方式有n2种方法, … , 第m类方式有nm种方法. 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 . 特点:一步完成 例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地 乙地 可以乘火车 , 也可以乘轮船. 火车有两班 轮船有三班 乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? 3 + 2 种方法 回答是 基本计数原理 则完成这件事共有 种不同的方法 . 2.乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, …, 第m个步骤有nm种方法. 特点：多步完成 例如, A地到B地有两种走法, B地到C地有三种走法, C地 到 D地有四种走法, 则 A地到 D 地共有 种走法. 特别, k = n时称全排列 排列、组合的定义及计算公式 1. 排列: 从n个元素中取 k个不同元素的排列数为： 阶乘 若允许重复, 则从n个元素中取 k个元素的排列数为： 注意 2. 组合: 从n个元素中取 k个元素的组合数为： 推广: n个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rs的分法总数为 由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。 1、抽球问题 例8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。 解 设A——取到一红球一白球 答:取到一红一白的概率为3/5。 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是 　设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？ 所以，事件A发生的概率为 设事件B：“第k+1个取出的球是白球”， 由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的