§多项式函数与多项式的根.pptVIP

* 第一章 多项式 * * * §1.7 多项式函数与多项式的根 一、多项式函数 定义：设 对 数 称为当 F中的根或零点。 定义（多项式函数）：设 对 作映射f： 为F上的多项式函数。 时 的值，若 则称c为 在 映射f确定了数域F上的一个函数 被称 当F=R时， 就是数学分析中所讨论的多项 式函数。 若 则 二、余式定理和综合除法 所得的余式是 。 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 证：由带余除法：设 则 。 问题1、 有没有确定带余除法： 的简单方法？ 中 和 设 把 代入 中展开后比较方程两边的系数得： 因此，利用 与 之间的系数关系可以方便 和r，这就是下面的综合除法： 于是得 去除 例1.7.1：求用 的商式和余式。 解：由综合除法 因此 利用综合除法求 与r时应注意： 1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零； 2、除式 要变为 例1.7.2：把 表成 的方幂和。 定理1.7.2（因式定理）： 因式 的充要条件是 。 证明：设 若 即 故 是 的一个因式。 若 有一个因式 即 故 此即 。 由此定理可知，要判断一个数c是不是 的根， 可以直接代入多项式函数， 看 是否等于零；也可 以利用综合除法来判断其余数是否为零。 多项式 有一个 三、多项式的根 定义3：若 是 的一个k重因式， 即有 但 则 是 的一个k重根。 问题2、 若多项式 有重根，能否推出 有重因式，反之，若 有重因式，能否说 有重根？ 由于多项式 有无重因式与系数域无关， 而 有无重根与系数域有关，故 有重根 有重因式，但反之不对。 定理1.7.3（根的个数定理）： 数域F上 次多项式至多有n个根 （重根按重数计算）。 证明（用归纳法）： 当 时结论显然成立， 假设当 是 次多项式时结论成立， 则当 是n次多项式时， 设 是 的一个根，则有 是n-1次多项式，由归纳知 至多只有 个根，故 至多只有n个根。 证二：对零次多项式结论显然成立， 数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不 定理1.7.4： 超过n，若在F中有n+1个不同的数使 与 的值相等，则 。 证明： 令 设 它们的次数都不 若 又 把 若 是一次数0的多项式， 分解成 不可约多项式的乘积，这时 在数域F中根的个 超过n。 由于F中有n+1个不同的数， 使 与 的值相等， 故 有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾， 故 即 问题3、 设 是F中n个不同的数， 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项 式 ，使 利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 使 * 第一章 多项式 *