§微分方程的基本概念.pptVIP

* 再求一次积分得 ， ④ 把条件②代入③和④，得 解 通解 特解。 例4．试求以下列函数为通解的微分方程： 例2．求微分方程 的通解。 ， 将 代入，得原方程的通解： 一阶微分方程的一般形式为 解：设所求曲线的方程为， ∵，， ∴， ， ，。 ∴所求曲线的方程为。 求解步骤： （1）分离变量：； （5）若有，把代入①式可知，也 是①的一个解，则此解称为常数解。 4．2．1 可分离变量的方程 分离变量，得， 两端积分，得：， 即。 例3.解方程. 解:先求方程的通解。，， ， 化简得：（）。 ∵也是方程的解， ∴方程的通解为。 代入初始条件，得到， ∴原初值问题的解为。 4．2．2 齐次方程 1．齐次微分方程的一般形式： 若当时，有 ① 则称方程为齐次方程。 在①中令，得，故 齐次方程的形式为 ② 例如： 都是齐次方程。 2．齐次微分方程的解法 在中，令， 则，， 代入原方程得: ， 即 ，为可分离变量方程。 例4．求方程的通解。 解：， ，， ， ， ， 3．型的方程 例6．求方程的通解。 解：令，则，， 代入原方程得：，即， 而 ， ∴。 。 4．型的方程 例7．解微分方程 分析：这个方程不是齐次方程，它与齐次方程的差别 在于分子与分母多了常数项，为了消去常数项，通过 一种变换，使新的表达式中不出现常数项，借用平面 解析几何中坐标平移的思路可解决这个问题。 原微分方程就可化为齐次方程型， 其解由例5可得 ， 原方程的通解。 可分离变量方程的一般形式为 ① 代入原方程得： ， 即，这是可分离变量方程。 ，， 例1. 一曲线通过点(1，1),且曲线上任意点的 切线与直线垂直，求此曲线的方程。 ∵， 把初始条件代入上式，得，。 （2）两边积分：； （3）求出积分，得通解：， 其中分别是的原函数。 （4）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定 ，得方程的特解。 将代入，得原方程的通解：。 （其中为任意常数.） 解:， ∴， §4.2 一阶微分方程 代入原方程得，， 令，则 ，， 解：令，， 则， 令。 ∴，， ，。 两端积分得：， 令， 解：设所求曲线方程为， 则有 ，且。 对两端积分得：， 把条件代入上式得， ， ∴所求曲线方程为。 §4.1 微分方程的基本概念 例1．求过点且切线斜率为2x的曲线方程。 则有 ， ①　 将①式积分得 ， ③ 解：设自由落体运动的路程随时间的变化规律为， 例2．设自由落体下落的加速度为常数，且初 始位置为0，，求自由落体的运动规律。 且. ② ， ∴所求自由落体的运动规律为. 1.微分方程的定义 含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 2.微分方程的阶 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微 分方程的阶。未知函数的最高阶导数微分方程 称微分方程。 例如：； ； 。 3.n阶微分方程的一般形式： 4.微分方程的解 能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该 函数是显式的，则称为显式解；若是隐式的，则称为隐式解。 若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的通解。 例如：在例2中、 都是微分方程的 ，而是 方程的 。 5.微分方程的初始条件 称问题 为初值问题。 微分方程满足初始条件的解称为特解。 称附加条件 微分方程的初始条件。 例如：例2为求解初值问题 是 例3．验证函数 ① 是微分方程 ② 的通解，并求方程②满足初始条件， 的特解。 解：求函数①的一、二阶导数： ， 把函数①及其导数代入方程，得 所以函数①是方程②的解。 又函数中含有两个独立的任意常数， 方程为二阶微分方程， 故函数①是方程②的通解。 将条件代入通解， 得， 将条件代入， 得， 故所求特解为。 （1）. 解：， 消去常数，得，即。 显然，将代入中，等式 成立，且方程的阶数与任意常数的个数相等，故此方 程符合题意。 （2）。 解：， ， 故所求的微分方程为。 注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解 中含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。 例5．求的通解。 解：， 代入原方程得：， ，， 令，则 ，， ， 将代入，得原方程的通解： ， ， 。