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§ 1.4 条件概率及有关公式 在实际问题中，往往会遇到求一事件已经发生的前提下，另一事件发生的概率。 设A、B是某随机试验中的两个事件，且P(B)0，则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为: 在事件B已发生的条件下事件A 的条件概率,简称为A在B之下的条件概率，记为P(A|B) 。 条件概率的定义 条件概率的性质 全概率公式 人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况、不同原因或不同途径下发生的情况，从而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算它们的概率，然后求和。 全概率公式 贝叶斯公式 例2 有三个形状相同的罐，在第一个罐中有2个白球和1个黑球，在第二个罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，现任取一罐，从中取出一球，试求取得白球的概率。 解: A:“取到的是白球” Bi :“球取自第i罐” (i=1,2,3) 则B1, B2, B3是样本空间的一个划分 由全概率公式: 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即在已知某结果发生的条件下，求各原因发生可能性大小。 实际中还有下面一类问题——已知结果求原因 某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球, 问该球是取自1号箱的概率？ 或者问: 该球取自哪个号码的箱子的可能性大些? 1 2 3 记 Ai ={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式。 运用 乘法 公式 设B1, B2, …, Bn 是n个互不相容的事件，事件 且P(A)0, P(Bi)0,(i=1,2,…,n),则 贝叶斯公式 分析: 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。 称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的， 它是事件 A 的原因。 称 P(Bi|A)为后验概率，它是得到了信息“A发生”，再对导致A出现的原因发生的可能性大小重新加以修正。 全概率---由因求果 贝叶斯----执果求因 例1 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别0.9，0.7，0.5，0.2。现从该射击小组任选一人，若此人已通过选拔进入比赛，问此人是一级射手的概率是多少? 解: A：“任选的一名射手能通过选拔进入比赛” Bi：“任选的一名射手是i级射手” (i=1,2,3,4) 显然，B1、B2、B3、B4是样本空间的一个划分 由已知: P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2 由贝叶斯公式: “结果?原因” 例2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对某种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对该种试验反应是阳性的概率为0.04。现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症” 解: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性} 求P(C|A) 已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95, * 由于附加了条件，P(A)与 P(A|B)意义不同，一般情况下 P(A|B) ≠ P(A) . 例1 掷一颗均匀骰子， B={掷出偶数点}. 试求P(A|B)=？ 由于已知事件B已经发生，所以此时试验所有可能结果只有3种，而事件A包含的基本事件只占其中一种，故有P(A|B)=1/3 A={掷出2点}， 解：掷一颗均匀骰子可能的结果有6种，且它们的出现是等可能的。 P(A)=1/6 掷骰子 例2 设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸这10张,张三和李四各得一张。 记 A:{张三中奖} B:{李四中奖} 由古典概率模型知: 现在假设李四先刮开彩票,那么李四是否中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响呢? 显然,如果李四中奖,那么张三就没有机会中奖 也就是说: 在事件B 发生的条件下,事件A发生的概率为0,记 P(A|B)=0 反之，如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大? 也就是说:在事件B 没发生的条件下,事件A发生的概率为多少? 基于古典概型的分析: ?: n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的某一样本点