§概率论与数理统计教程.pptVIP

§1.3 概率的性质 概率的定义 性质1.3.1 P(φ)=0. 注意: 逆不一定成立. 1.3.1 概率的可加性 性质1.3.2 (有限可加性) 若AB=φ，则 P(A?B) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件. 性质1.3.3 (对立事件公式) P( )=1?P(A). (1) Φ =Φ +Φ+ Φ+… P(Φ)= P(Φ +Φ+ Φ+…)= P(Φ) +P (Φ)+P (Φ)+… (公理3可列可加性) P (Φ)=P (Φ)+ P (Φ)+… ,故P (Φ)=0 (2) A1 + A2 + … + An = A1 + A2 + … + An + Φ + Φ+… P(A1 + A2 + … + An )= P(A1 + A2 + … + An + Φ + Φ+…) = P(A1) + P( A2) + … + P(An ) + P(Φ) + P(Φ) + … 故P(ΣAi)= ΣP(Ai) (i=1,2,…,n). (3) A1,A2,…,An, …构成一个完备事件组,即它们互不相容,且 ΣAi= Ω. 所以,ΣP(Ai) = P(ΣAi)= P(Ω)= 1. 1.3.2 概率的单调性 性质1.3.4 若A?B，则 P(A?B) = P(A)?P(B)； 若A?B，则 P(A) ? P(B). 性质1.3.5 P(A?B) = P(A)?P(AB). 1.3.3 概率的加法公式 (6) P(A?B) = P(A)+P(B)?P(AB) P(A?B?C) = P(A)+P(B)+P(C) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) +P(ABC) 概率性质的证明 (4):思路:将B化为两个互不相容事件的和后,用性质2. ① B= (B － A )+ A, 且B － A与A互不相容， P (B)= P(B － A ) + P(A) i.e. P(B－A)=P(B)－P(A) ② 再由非负性公理, P(B － A ) ≥ 0,可得P(B)≥P(A) . (6):思路:利用两个互不相容事件和的公式 A+B=A+(B－AB)（利用图形直观理解!） P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 例1.3.2 练习 1:设P(A)=1/3, P(B)=1/2. 解答 例1.3.3 利用对立事件 口袋中有n?1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率. 例1.3.5 例1.3.4 利用对立事件和加法公式 从 1, 2, ……, 9中返回取n次， 求取出的n个数的乘积能被10整除的概率. 常见模型(4) —— 配对模型 n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率. 记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, …, n. 求 P(A1?A2?……?An)，不可用对立事件公式. 用加法公式： 配对模型(续) P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n?1), P(AiAjAk) =1/n(n?1)(n?2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1?A2?……?An)= 利用对称性 甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 1.3.4 概率的连续性 因为概率是事件(集合)的函数， 所以先讨论事件(集合)的“极限” . 本节给出可列可加性的充要条件. 事件序列的极限 若事件序列{Fn}满足：F1? F2 ? … ? Fn ? … 则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为 集合函数的连续性 设P(·)是一个集合函数， (1) 若任对单调不减集合序列{Fn}，有 则称P(·)是下连续的. 概率的连续性 性质1.3.7 若P(·)是事件域F上的一个概率函数， 则P(·) 既是下连续的，又是上连续的. 可列可加性的充要条件 性质1.3.8 若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合 函数，则P(·) 有可列可加性的充要条件是它 具有有限可加性和下连续性. §1.4 条件概率 问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中