§隐函数有求导法则吉林化工学院.pptVIP

§8.5 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 小结 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x? y)在点P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程F(x? y)?0在点(x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y?f(x)? 它满足条件y0?f(x0)? 并有 y x F F dx dy - = . 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值. 解 设F(x, y)?x2?y2?1, Fx?2x, Fy?2y, F(0, 1)?0, Fy(0, 1)?2?0. 隐函数存在定理1: 则 设函数F(x? y)在点P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程F(x? y)?0在点(x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y?f(x)? 它满足条件y0?f(x0). 由隐函数存在定理, 方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x). 解 设F(x, y)?x2?y2?1, Fx?2x, Fy?2y, F(0, 1)?0, Fy(0, 1)?2?0. 则 由隐函数存在定理, 方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x). 提示: 由方程F(x, y)?0确定的隐函数y?f(x)的导数为 y x F F dx dy - = . y x F F dx dy y x - = - = , 0 0 = = x dx dy ; 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值. 解 设F(x, y)?x2?y2?1, Fx?2x, Fy?2y, F(0, 1)?0, Fy(0, 1)?2?0. 则 由隐函数存在定理, 方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x). y x F F dx dy y x - = - = , 0 0 = = x dx dy ; 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值. 隐函数存在定理2 设函数F(x? y? z)在点P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 则方程F(x? y? z)?0在点(x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z?f(x? y)? 它满足条件z0?f(x0? y0)? 并有 令F(x? y? z)?z3?3xyz?a3? 则 解 : 由方程F(x, y, z)?0确定的隐函数z?f(x, y)的偏导数为 例2 设z3?3xyz?a3? 求 . , 思路： 解 令 则 整理得 整理得 整理得 在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数u?u(x, y), v?v(x, y). 例如, 方程xu-yv=0和yu?xv=1可以确定两个二元函数 事实上, 能否根据原方程组求u?u(x, y), v?v(x, y)的偏导数？ 2 2 y x y u + = , 2 2 y x x v + = . 设方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u,